3. Дифференцирование обратной функции

Теорема 2 (теорема о производной обратной функции). Пусть функции взаимно обратны и непрерывны в точках соответственно. Если функция дифференцируема в точке то функция также дифференцируема в точке причем

Поскольку функции взаимно обратны, то величины при не обращаются в нуль, если Из непрерывности в в у о можно, кроме того, заключить, что Используя теперь теорему о пределе композиции функций и арифметические свойства предела, находим

Таким образом, показано, что в точке функция имеет производную и

Замечание 1. Если бы нам заранее было известно, что функция дифференцируема в точке то из тождества по теореме о дифференцировании композиции функций мы сразу же нашли бы, что

Замечание 2. Условие очевидно, равносильно тому, что отображение осуществляемое дифференциалом , имеет обратное отображение задаваемое формулой

Значит, в терминах дифференциалов вторую фразу формулировки теоремы 3 можно было бы записать следующим образом:

Если функция дифференцируема в точке этой точке ее дифференциал обратим, то дифференциал функции обратной к существует в точке и является отображением

обратным к отображению .

Пример 9. Покажем, что при Функции взаимно обратны и непрерывны (см. гл. IV, § 2, пример 8), причем , если При для значений имеем

Таким образом, по теореме 3

Знак перед радикалом выбран с учетом того, что при

Пример 10. Рассуждая, как и в предыдущем примере, можно показать (с учетом примера 9 из § 2 гл. IV), что

Действительно,

Знак перед радикалом выбран с учетом того, что если

Пример

Действительно,

Пример

Действительно,

Пример 13. Мы уже знаем (см. примеры 10, 12 из § 1), что функции имеют производные и

Проверим, как это согласуется с теоремой 3:

Пример 14. Гиперболические, обратные гиперболические функции и их производные. Функции

называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом 1 от х.

Эти в данный момент вводимые нами чисто формально функции, как выяснится, во многих вопросах появляются так же естественно, как появляются круговые функции

Заметим, что

т. е. гиперболический синус — нечетная функция, а гиперболический косинус — функция четная.

Кроме того, очевидно следующее основное тождество:

Графики функций изображены на рис. 19.

Рис. 19

Из определения функции и свойств функции следует, что — непрерывная строго возрастающая функция, отображающая взаимно однозначно Е на К. Обратная функция к таким образом, существует, определена на непрерывна и строго монотонно возрастает.

Ее обозначают символом

(читается ареа-синус от у»). Эту функцию легко выразить через уже известные. Решая уравнение

относительно х, найдем последовательно

и

Итак,

Аналогично, используя монотонность функции на участках можно построить функции определенные для и обратные к ограничению функции на соответственно.

Они задаются формулами

Из приведенных определений находим

а на основе теоремы о производной обратной функции получаем

Последние три соотношения можно проверить, используя явные выражения для обратных гиперболических функций .

Например,

Подобно можно рассмотреть функции

называемые гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом соответственно, а также обратные им функции ареа-тангенс:

и ареа-котангенс:

Решения элементарных уравнений, приводящие к этим формулам, мы опускаем.

По правилам дифференцирования имеем

По теореме о производной обратной функции

Две последние формулы можно проверить и непосредственным дифференцированием явных формул для функций .