3. Вопросы существования предела последовательности

а. Критерий Коши

Определение 7. Последовательность называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого числа найдется такой номер что из следует

Теорема 4 (критерий Коши сходимости последовательности). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Пусть По числу найдем номер так, чтобы при иметь Если теперь то и, таким образом, проверено, что сходящаяся последовательность фундаментальна.

Пусть теперь — фундаментальная последовательность. По заданному найдем номер такой, что следует Фиксировав получаем, что при любом

но поскольку имеется всего конечное число членов последовательности с номерами, не превосходящими то мы доказали, что фундаментальная последовательность ограничена.

Для положим теперь .

Из этих определений видно, что (поскольку при переходе к меньшему множеству нижняя грань не уменьшается, а верхняя не увеличивается). Последовательность вложенных отрезков имеет, по лемме о вложенных отрезках, общую точку А.

Поскольку при любом

а при

то при к имеем

Но из (1) следует, что при

поэтому при

Сравнивая (2) и (3), находим, что при любом

и мы показали, что

Пример 8. Последовательность не имеет предела, поскольку она не является фундаментальной. Хотя это и очевидно, но все же проведем формальную проверку. Отрицание утверждения, что последовательность фундаментальная, выглядит так:

т. е. найдется такое, что при любом найдутся числа большие , для которых .

В нашем случае достаточно положить Тогда при любом будем иметь

Пример 9. Пусть

— некоторая последовательность конечных двоичных дробей, причем каждая следующая дробь получается дописыванием знака 0 или 1 к предыдущей. Покажем, что такая последовательность всегда сходится. Пусть Оценим разность

Таким образом, подобрав по заданному число так, что для любых получаем оценку доказывающую фундаментальность последовательности

Пример 10. Рассмотрим последовательность где

Поскольку для любого

то в силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела.

b. Критерий существования предела монотонной последовательности

Определение 8. Последовательность называется возрастающей, если неубывающей, если невозрастающей, если убывающей, если Последовательности этих четырех типов называют монотонными последовательностями.

Определение 9. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что

Аналогично определяется последовательность, ограниченная снизу.

Теорема 5 (Вейерштрасс). Для того чтобы неубывающая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху.

То, что любая сходящаяся последовательность ограничена, было доказано при рассмотрении общих свойств предела последовательности, поэтому интерес представляет только второе утверждение теоремы.

По условию множество значений последовательности ограничено сверху, значит, оно имеет верхнюю грань

По определению верхней грани, для любого найдется элемент такой, что Поскольку последовательность неубывающая, при любом теперь получаем Таким образом, доказано, что

Разумеется, аналогичную теорему можно сформулировать и доказать для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу. В этом случае

Замечание. Ограниченность сверху (снизу) неубывающей (невозрастающей) последовательности на самом деле, очевидно, равносильна ограниченности этой последовательности.

Рассмотрим несколько полезных примеров.

Пример если

Действительно, если то Поскольку , то найдется номер такой, что при будет Таким образом, при будем иметь т. е. после члена наша последовательность монотонно убывает. Поскольку конечное число членов последовательности, как видно из определения предела, не влияет на сходимость последовательности и ее предел, то достаточно теперь найти предел последовательности

Члены последовательности положительны, т. е. последовательность ограничена снизу. Значит, она имеет предел.

Пусть Из соотношения теперь следует

откуда находим

Следствие

При фиксированном по доказанному найдется такое, что при будем иметь Тогда при получим и, значит, действительно

Следствие при любом

Пусть . Для любого найдем так, что при и тогда при получаем

Если

Пример 12. ; здесь — любое действительное число,

Если то утверждение очевидно. Далее, поскольку то достаточно доказать утверждение для Рассуждая в этом случае, как и в предыдущем, замечаем, что . Поскольку множество натуральных чисел не ограничено сверху, найдется номер такой, что при будет Тогда при будем иметь и, учитывая положительность членов последовательности, можно теперь гарантировать существование предела Но тогда

с. Число е

Пример 13. Докажем существование предела

Пределом в данном случае является число, обозначаемое после Эйлера буквой столь же характерное для анализа, как для арифметики 1 или для геометрии 7г. К нему мы еще неоднократно будем возвращаться по очень разным поводам.

Проверим сначала следующее неравенство:

(называемое иногда неравенством Я. Бернулли).

При утверждение справедливо. Если оно справедливо для то и для тоже, поскольку тогда

По принципу индукции утверждение, таким образом, справедливо для любого

Из выкладки, кстати, видно, что при имеет место строгое неравенство.

Покажем теперь, что последовательность убывающая.

Пусть Используя доказанное неравенство, находим, что

Поскольку члены последовательности положительны, существует предел

Но тогда

Итак,

Определение 10.

d. Подпоследовательность и частичный предел последовательности

Определение 11. Если — некоторая последовательность, а — возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность называется подпоследовательностью последовательности

Например, последовательность нечетных натуральных чисел, взятых в их естественном порядке, является подпоследовательностью последовательности Но последовательность уже не является подпоследовательностью последовательности

Лемма 1 (Больцано—Вейерштрасс). Каждая ограниченная последовательность действительных чисел содержит сходящуюся подпоследовательность.

Пусть Е — множество значений ограниченной последовательности Если Е конечно, то существуют по крайней мере одна точка и последовательность номеров такие, что Подпоследовательность постоянна и, значит, сходится.

Если Е бесконечно, то по принципу Больцано — Вейерштрасса оно обладает по крайней мере одной предельной точкой х. Поскольку х — предельная точка можно выбрать так, что Если уже выбрано так, что учитывая, что х — предельная точка Е, найдем так, что

Поскольку построенная подпоследовательность сходится к х.

Определение 12. Условимся писать и говорить, что последовательность стремится к плюс бесконечности, если для каждого числа с найдется номер такой, что при любом

Запишем это и два аналогичных определения в логических обозначениях:

В последних двух случаях говорят соответственно: последовательность стремится к минус бесконечности и последовательность стремится к бесконечности.

Заметим, что последовательность может быть неограниченной, но не стремиться ни к плюс, ни к минус, ни просто к бесконечности. Например,

Последовательности, стремящиеся к бесконечности, мы не причисляем к сходящимся.

Легко видеть, что в соответствии с этими определениями можно дополнить только что доказанную лемму, сформулировав ее несколько иначе.

Лемма 2. Из каждой последовательности действительных чисел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность или подпоследовательность, стремящуюся к бесконечности.

Новым является только тот случай, когда последовательность не ограничена. Тогда по будем выбирать так, что Получим подпоследовательность которая стремится к бесконечности.

Пусть — произвольная последовательность действительных чисел. Если она ограничена снизу, то можно рассмотреть (уже встречавшуюся нам при доказательстве критерия Коши) последовательность Поскольку для любого то либо последовательность имеет конечный предел либо

Определение 13. Число называется нижним пределом последовательности и обозначается или Если то принято говорить, что нижний предел последовательности равен плюс бесконечности, и писать или Если исходная последовательность не ограничена снизу, то при любом будем иметь В этом случае говорят, что нижний предел последовательности равен минус бесконечности, и пишут или

Итак, с учетом всех перечисленных возможностей запишем теперь кратко определение нижнего предела последовательности

Аналогично, рассматривая последовательность приходим к определению верхнего предела последовательности

Определение 14.

Приведем несколько примеров.

(кликните для просмотра скана)

Определение 15. Число (или символ — или называют частичным пределом последовательности, если в ней есть подпоследовательность, стремящаяся к этому числу.

Утверждение 1. Нижний и верхний пределы ограниченной последовательности являются соответственно наименьшим и наибольшим из ее частичных пределов.

Докажем, это, например, для нижнего предела Про последовательность нам известно, что она неубывающая и

Для чисел используя определение нижней грани, по индукции подберем числа так, что Поскольку то, опираясь на свойства предела, можем утверждать, что Мы доказали, что — частичный предел последовательности . Это наименьший частичный предел, поскольку для каждого найдется число такое, что при любом к

Неравенство при означает, что ни один частичный предел нашей последовательности не может быть меньше е. Но произвольно, поэтому он также не может быть меньше

Для верхнего предела доказательство, разумеется, аналогично проведенному.

Заметим теперь, что если последовательность не ограничена снизу, то из нее можно выделить подпоследовательность, стремящуюся Но в этом случае и и можно условиться считать, что снова нижний предел есть наименьший из частичных пределов. Верхний предел при этом может быть конечным, и тогда по доказанному он является наибольшим из частичных пределов; он может быть и бесконечным. Если то последовательность не ограничена также и сверху и можно выделить подпоследовательность, стремящуюся к Если же что тоже возможно, то это означает, что т. е. и сама последовательность стремится к ибо Аналогично, если то

Учитывая сказанное, можно, таким образом, заключить, что справедливо

Утверждение V. Для любой последовательности нижний предел есть наименьший из ее частичных пределов, а верхний предел последовательности — наибольший из ее частичных пределов.

Следствие 1. Последовательность имеет предел или стремится к минус или плюс бесконечности в том и только в том случае, когда нижний и верхний пределы последовательности совпадают.

М Случай, когда и случай, когда уже разобраны выше, поэтому можно считать, что . Поскольку и по условию , то по свойствам предела также

Следствие 2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая ее подпоследовательность.

Нижний и верхний пределы подпоследовательности заключены между нижним и верхним пределами самой последовательности. Если последовательность сходится, то ее нижний и верхний пределы совпадают. Тогда совпадают нижний и верхний пределы подпоследовательности, откуда вытекает ее сходимость, причем, разумеется, к пределу всей последовательности.

Обратное утверждение очевидно, поскольку в качестве подпоследовательности можно взять саму последовательность.

Следствие 3. Лемма Больцано — Вейерштрасса как в узкой, так и в расширенной формулировке вытекает из утверждения 1 и утверждения V соответственно.

4 Действительно, если последовательность ограничена, то точки конечны и по доказанному являются частичными пределами последовательности. Только при последовательность имеет лишь одну предельную точку; при их уже по крайней мере две.

Если последовательность не ограничена с какой-то стороны, то существует подпоследовательность, стремящаяся к соответствующей бесконечности.

Заключительные замечания. Мы выполнили (и даже с некоторым превышением) все три пункта намеченной перед началом параграфа программы: дали точное определение предела последовательности, доказали единственность предела, выяснили связь операции предельного перехода со структурой множества действительных чисел, получили критерий сходимости последовательности.

Теперь рассмотрим один специальный часто встречающийся и очень полезный вид последовательностей — ряды.