§ 3. Основные законы дифференцирования

1. Линейность операции дифференцирования

Теорема 1. Если отображения определенные на множестве дифференцируемы в точке то их линейная комбинация также является дифференцируемым в этой точке отображением, причем имеет место равенство

Равенство (1) показывает, что операция дифференцирования, т. е. сопоставление отображению его дифференциала в точке, является линейной операцией на векторном пространстве отображений дифференцируемых в фиксированной точке множества Е. Слева в (1) стоит, по определению, линейное отображение , справа стоит линейная комбинация линейных отображений которая, как нам известно из § 1, также является линейным отображением. Теорема 1 утверждает, что эти отображения совпадают.

Если рассматриваемые функции вещественнозначны, то над ними выполнимы также операции умножения и (при необращении знаменателя в нуль) деления. Имеет место

Теорема 2. Если функции , определенные на множестве дифференцируемы в точке , то

a) их произведение дифференцируемо в х, причем

b) их отношение дифференцируемо в х, если причем

Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством соответствующих пунктов теоремы 1 из § 2 гл, V, поэтому мы на нем не останавливаемся.

Соотношения (1), (2), (3) можно переписать также и в иных обозначениях дифференциала. А именно:

Посмотрим, что означают эти равенства в координатном представлении отображений. Нам известно, что если отображение дифференцируемое во внутренней точке х множества записать в координатном виде

то его дифференциалу в этой точке будет соответствовать матрица Якоби

При фиксированных базисах в соответствие между линейными отображениями -матрицами — взаимно однозначное, поэтому линейное отображение можно отождествить с задающей его матрицей.

Для обозначения матрицы Якоби мы все же, как правило, будем использовать символ не символ ибо это больше соответствует тому традиционному разделению понятий производной и дифференциала, которое проводится в одномерном случае.

Таким образом, в силу единственности дифференциала, во внутренней точке х множества Е получаем следующие координатные формы записи соотношений (1), (2), (3), означающие равенства соответствующих матриц Якоби:

Из поэлементного равенства указанных матриц, например, следует, что частную производную по переменной от произведения вещественнозначных функций надо брать так:

Отметим, что как это равенство, так и матричные равенства (1), (2), (3) являются очевидными следствиями определения частной производной и обычных правил дифференцирования вещественнозначных функций одного вещественного переменного. Однако нам известно, что наличия частных производных еще может оказаться недостаточно для дифференцируемости функции многих переменных. Поэтому наряду с важными и вполне очевидными равенствами (1), (2), (3) особую роль в теоремах 1 и 2 приобретают утверждения о существовании дифференциала соответствующего отображения.

Заметим, наконец, что по индукции из равенства (2) можно получить соотношение

для дифференциала произведения дифференцируемых вещественно-значных функций.