2. Условия внутреннего экстремума функции.

Учитывая лемму Ферма (лемма 1, § 3), можно сформулировать следующее

Утверждение 2 (необходимые условия внутреннего экстремума). Для того чтобы точка была точкой экстремума функции определенной в окрестности этой точки, необходимо выполнение одного из двух условий: либо функция не дифференцируема в либо

Простые примеры показывают, что эти необходимые условия экстремума не являются достаточными.

Пример 2. Пусть на Тогда но в точке экстремума нет.

Пример 3. Пусть

Эта функция с изломом в нуле, очевидно, не имеет в нуле ни производной, ни экстремума.

Пример 4. Найдем максимум функции на отрезке . В данном случае очевидно, что он будет достигнут в конце —2 отрезка, но регулярный способ его отыскания таков. Находим и все точки интервала , где . В нашем случае это одна точка Максимум должен быть либо среди этих точек, либо в одной из концевых точек, о которых утверждение 2 ничего не говорит. Таким образом, надо сравнить значения откуда заключаем, что максимальное значение функции на отрезке равно 4 и принимается в точке —2, являющейся концом этого отрезка.

Используя установленную в пункте 1 связь между знаком производной и характером монотонности функции, приходим к следующим достаточным условиям наличия или отсутствия локального экстремума в точке.

Утверждение 3 (достаточные условия экстремума в терминах первой производной). Пусть функция, определенная в окрестности точки непрерывная в самой этой точке и дифференцируемая в ее проколотой окрестности Пусть

Тогда справедливы следующие заключения:

Кратко, но менее точно, можно сказать, что если при переходе через точку производная меняет знак, то экстремум есть, а если ее знак при этом не меняется, то экстремума нет.

Заметим сразу же, что эти условия, являясь достаточными, не являются необходимыми для экстремума, в чем можно убедиться на следующем примере.

Пример 5. Пусть

Поскольку то ясно, что функция имеет строгий локальный минимум в точке однако ни в какой проколотой полуокрестности этой точки ее производная не сохраняет знак. Этот же пример указывает на недоразумения, которые могут возникнуть в связи с приведенной выше сокращенной формулировкой утверждения 3.

Теперь обратимся к доказательству утверждения 3.

а) Из утверждения 2 следует, что функция строго убывает на Поскольку она непрерывна в имеем и, следовательно, при По тем же соображениям при Таким образом, функция строго убывает во всей окрестности не является точкой экстремума.

Сначала, как и в а), заключаем, что ввиду убывания на и непрерывности имеем при Из возрастания на и непрерывности в заключаем, что при Таким образом, функция имеет в строгий локальный минимум. Утверждения с) и доказываются аналогично.

Утверждение 4 (достаточные условия экстремума в терминах высших производных). Пусть функция определенная в окрестности точки имеет в производные до порядка включительно то нечетном в экстремума нет, а при четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если и строгий локальный максимум, если

Используя локальную формулу Тейлора

где при будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (1) в виде

Поскольку при то сумма имеет знак когда достаточно близко к Если нечетно, то при переходе через скобка меняет знак и тогда изменится знак всей правой, а следовательно, и левой части равенства (2). Значит, при экстремума нет.

Если четно, то при и, следовательно, в малой окрестности точки знак разности как видно из равенства (2), совпадает со знаком

Рассмотрим примеры.

Пример 6. Закон преломления света в геометрической оптике (закон Снеллиуса). Согласно принципу Ферма истинная траектория света между любыми двумя точками такова, что на ней реализуется минимум времени, которое необходимо свету, чтобы пройти из одной точки в другую по любому фиксированному пути, соединяющему эти точки.

Из принципа Ферма и того, что кратчайшей линией между любыми двумя точками является отрезок прямой с концами в этих точках, следует, что в однородной изотропной среде (устроенной одинаково как в каждой точке, так и в каждом направлении) свет распространяется прямолинейно.

Пусть теперь имеются две такие среды и свет распространяется из точки как показано на рис. 22.

Рис. 22

Если — скорости света в этих средах, то время прохождения указанного пути таково:

Найдем экстремум функции

что в соответствии с обозначениями рисунка дает

Из физических соображений или прямо из вида функции неограниченно растущей при ясно, что точка, где является точкой абсолютного минимума непрерывной функции Таким образом, из принципа Ферма следует закон преломления

Пример 7. Покажем, что при

Дифференцируя функцию находим при При переходе через точку 1 производная переходит от положительных значений к отрицательным, если и от отрицательных к положительным, если или В первом случае в точке 1 строгий максимум, а во втором — строгий минимум (и не только локальный, что следует из соображений монотонности на участках Но и, таким образом, оба неравенства (3), (4)

установлены. При этом показано даже, что оба неравенства строгие, если

Заметим, что если заменить х на то мы обнаружим, что (3) и (4) — это развитие уже знакомого нам при натуральном показателе а неравенства Бернулли (гл. II, § 2, с. 64; см. также задачу 2 в конце настоящего параграфа).

С помощью элементарных алгебраических преобразований из доказанных неравенств можно получить ряд классических и важных для анализа неравенств. Приведем их вывод.

a. Неравенства Юнга.

Если числа таковы, что то

причем знак равенства в (5) и (6) имеет место только при

Для доказательства достаточно в (3) и (4) положить а также ввести обозначение

b. Неравенства Гёльдера.

Пусть Тогда

и

В случае в (8) предполагается, что Знак равенства в (7) и (8) возможен только в случае пропорциональности векторов

Проверим неравенство (7). Пусть Полагая в получаем

Суммируя эти неравенства по от 1 до получаем

что эквивалентно (7).

Аналогично, из (6) получаем (8). Поскольку знак равенства в (5) и (6) возможен лишь при заключаем, что в (7) и (8) он возможен лишь при пропорциональности или

c. Неравенства Минковского.

Пусть Тогда

и

Применим неравенства Гёльдера к членам правой части тождества

Тогда левая часть будет оценена сверху или снизу в соответствии с неравенствами (7), (8) величиной

После деления полученных неравенств на приходим к (9) и (10).

Зная условия равенства в неравенствах Гёльдера, проверяем, что знак равенства в неравенствах Минковского возможен лишь в случае коллинеарности векторов

При неравенство Минковского (9), очевидно, является неравенством треугольника в трехмерном евклидовом пространстве.

Пример 8. Рассмотрим еще простейший пример использования высших производных при отыскании локальных экстремумов. Пусть Поскольку то все точки, где являются локальными экстремумами функции так как в них При этом если если Таким образом, точки, где являются локальными максимумами, а точки, где локальными минимумами функции (что, конечно, и так известно).