6. Колебания.

Если тело, подвешенное на пружине, отклонить от положения равновесия, например, приподняв, а затем отпустив его, то оно будет совершать колебания около положения равновесия. Опишем этот процесс в общем виде.

Пусть известно, что на материальную точку массы способную перемещаться вдоль числовой оси действует сила пропорциональная отклонению точки от начала координат. Пусть нам известны также начальное положение нашей точки и ее начальная скорость Требуется найти зависимость положения точки от времени.

В силу закона Ньютона, эту задачу можно переписать в следующем чисто математическом виде: решить уравнение

при начальных условиях

Перепишем уравнение (21) в виде

и попробуем вновь воспользоваться экспонентой, а именно попробуем подобрать число А так, чтобы функция удовлетворяла уравнению (22). Подставляя в (22), получаем

или

Поскольку то при мы имеем два чисто мнимых числа: это не рассчитывали, но тем не менее продолжим рассмотрение. По формуле Эйлера

Поскольку при дифференцировании по действительному времени происходит отдельно дифференцирование действительной и мнимой частей функции то уравнению (22) должны удовлетворять порознь и функция и функция И это действительно так, в чем легко убедиться прямой

проверкой. Итак, комплексная экспонента помогла нам угадать два решения уравнения (22), линейная комбинация которых

очевидно, также является решением уравнения (22).

Коэффициенты в (24) подберем из условий

Таким образом, функция

является искомым решением.

Делая стандартные преобразования, (25) можно переписать в виде

где

Таким образом, при точка будет совершать периодические колебания с периодом т. е. с частотой и амплитудой Мы утверждаем это потому, что из физических соображений ясно, что решение (25) поставленной задачи единственно. (См. задачу 5 в конце параграфа.)

Движение, описываемое функцией (26), называют простыми гармоническими колебаниями, а уравнение (22) — уравнением гармонических колебаний.

Вернемся теперь к случаю, когда в уравнении Тогда две функции будут вещественными решениями уравнения (22) и функция

также будет решением. Постоянные подберем из условий

Полученная система всегда однозначно разрешима, ибо ее определитель

Поскольку числа противоположного знака, то из (27) видно, что при сила не только не стремится вернуть точку в положение равновесия но со временем неограниченно уводит ее от этого положения, если или отлично от нуля. То есть в этом случае — точка неустойчивого равновесия.

В заключение рассмотрим одну вполне естественную модификацию уравнения (21), на которой еще ярче видна польза показательной функции и формулы Эйлера, связывающей основные элементарные функции.

Предположим, что рассматриваемая нами частица движется в среде (воздухе или жидкости), сопротивлением которой пренебречь нельзя. Пусть сила сопротивления среды пропорциональна скорости точки. Тогда вместо уравнения (21) мы должны написать уравнение

которое перепишем в виде

Бели вновь искать решение в виде то мы придем к квадратному уравнению

корни которого

Случай, когда приводит к двум вещественным корням и решение может быть найдено в виде (27).

Мы рассмотрим подробнее более интересный для нас случай, когда Тогда оба корня комплексные (но не чисто мнимые!):

Формула Эйлера в этом случае дает

где Таким образом, мы находим два вещественных решения уравнения (28), угадать которые было

бы уже довольно трудно. Затем ищем решение исходной задачи в виде их линейной комбинации

подбирая так, чтобы удовлетворить начальным условиям

Получающаяся при этом система уравнений, как можно проверить, всегда однозначно разрешима. Таким образом, после преобразований из (29) получаем решение задачи в виде

где — константы, определяемые начальными условиями.

Из этой формулы видно, что благодаря множителю где в рассматриваемом случае колебания будут затухающими, причем скорость затухания амплитуды зависит от отношения Частота колебаний меняться во времени не будет. Величина и тоже зависит только от отношений что, впрочем, можно было предвидеть на основании записи (28) исходного уравнения. При мы вновь возвращаемся к незатухающим гармоническим колебаниям (26) и уравнению (22).

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)