3. Норма в R^m.

Величину

назовем нормой вектора

Из этого определения с учетом неравенства Минковского следует, что

Вообще, любую функцию на векторном пространстве X, удовлетворяющую условиям называют нормой в векторном пространстве. Иногда, чтобы уточнить, о какой норме идет речь, знак нормы вектора наделяют символом того пространства, в котором эту норму рассматривают. Например, можно написать или однако мы, как правило, не станем этого делать, ибо из контекста всегда будет ясно, о каком пространстве и какой норме идет речь.

Заметим, что в силу (12)

где расстояние в между векторами , рассматриваемыми как точки метрического пространства

Из соотношения (13) видно, что следующие условия равносильны:

Ввиду (13), в частности, имеем

Свойство 4° нормы называют неравенством треугольника, и теперь ясно почему.

Неравенство треугольника по индукции распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых. А именно, справедливо неравенство

Наличие нормы вектора позволяет сравнивать по величине значения функций

Условимся писать, что или при базе В в X, если при этой базе В.

Если — координатное представление отображения то ввиду неравенств

можно сделать следующее полезное для дальнейшего наблюдение:

Условимся также, что запись при базе В в X будет означать, что при этой базе В.

Тогда из (14) получаем, что

Пример. Пусть — линейное отображение и — произвольный вектор пространства Оценим

Таким образом, можно утверждать, что

В частности, из этого следует, что при т. е. линейное отображение непрерывно в любой точке Из оценки (17) видна даже равномерная непрерывность линейного отображения.