3. Норма в R^m.
Величину
назовем нормой вектора 
Из этого определения с учетом неравенства Минковского следует, что
Вообще, любую функцию 
на векторном пространстве X, удовлетворяющую условиям 
называют нормой в векторном пространстве. Иногда, чтобы уточнить, о какой норме идет речь, знак нормы вектора наделяют символом того пространства, в котором эту норму рассматривают. Например, можно написать 
или 
однако мы, как правило, не станем этого делать, ибо из контекста всегда будет ясно, о каком пространстве и какой норме идет речь.
Заметим, что в силу (12)
где 
расстояние в 
между векторами 
, рассматриваемыми как точки метрического пространства 
Из соотношения (13) видно, что следующие условия равносильны:
Ввиду (13), в частности, имеем
Свойство 4° нормы называют неравенством треугольника, и теперь ясно почему.
Неравенство треугольника по индукции распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых. А именно, справедливо неравенство
Наличие нормы вектора позволяет сравнивать по величине значения функций 
Условимся писать, что 
или 
при базе В в X, если 
при этой базе В.
Если 
— координатное представление отображения 
то ввиду неравенств
можно сделать следующее полезное для дальнейшего наблюдение:
Условимся также, что запись 
при базе В в X будет означать, что 
при этой базе В.
Тогда из (14) получаем, что
Пример. Пусть 
— линейное отображение и 
— произвольный вектор пространства 
Оценим 
Таким образом, можно утверждать, что
В частности, из этого следует, что 
при 
т. е. линейное отображение 
непрерывно в любой точке 
Из оценки (17) видна даже равномерная непрерывность линейного отображения.
