ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Создание Ньютоном и Лейбницем три столетия тому назад основ дифференциального и интегрального исчисления даже по нынешним масштабам представляется крупнейшим событием в истории науки вообще и математики в особенности.

Математический анализ (в широком смысле слова) и алгебра, переплетаясь, образовали теперь ту корневую систему, на которой держится разветвленное дерево современной математики и через которую происходит его основной живительный контакт с внематематической сферой. Именно по этой причине основы анализа включаются как необходимый элемент даже самых скромных представлений о так называемой высшей математике, и, вероятно, поэтому изложению основ анализа посвящено большое количество книг, адресованных различным кругам читателей.

Эта книга в первую очередь адресована математикам, желающим (как и должно) получить полноценные в логическом отношении доказательства фундаментальных теорем, но вместе с тем интересующимся также их внематематической жизнью.

Особенности настоящего курса, связанные с указанными обстоятельствами, сводятся в основном к следующему.

По характеру изложения. В пределах каждой большой темы изложение, как правило, индуктивное, идущее порой от постановки задачи и наводящих эвристических соображений по ее решению к основным понятиям и формализмам.

Подробное вначале, изложение становится все более сжатым по мере продвижения по курсу.

Упор сделан на эффективном аппарате гладкого анализа. При изложении теории я (в меру своего понимания) стремился выделить наиболее существенные методы и факты и избежать искушения незначительного усиления теорем ценой значительного усложнения доказательств.

Изложение геометрично всюду, где это представлялось ценным для раскрытия существа дела.

Основной текст снабжен довольно большим количеством примеров, а почти каждый параграф заканчивается набором задач, которые, надеюсь, существенно

дополняют даже теоретическую часть основного текста. Следуя великолепному опыту Полиа и Сеге, я часто старался представить красивый математический или важный прикладной результат в виде серий доступных читателю задач.

Расположение материала диктовалось не только архитектурой математики в смысле Бурбаки, но и положением анализа как составной части единого математического или, лучше сказать, естественно-математического образования.

По содержанию. Курс издается в двух книгах (части I и II).

Настоящая первая часть содержит дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной и дифференциальное исчисление функций многих переменных.

В дифференциальном исчислении выделена роль дифференциала как линейного эталона для локального описания характера изменения переменной величины. Кроме многочисленных примеров использования дифференциального исчисления для исследования функциональных зависимостей (монотонность, экстремумы), показана роль языка анализа в записи простейших дифференциальных уравнений — математических моделей конкретных явлений и связанных с ними содержательных задач. Рассмотрен ряд таких зада (например, движение тела переменной массы, ядерный реактор, атмосферное давление, движение в сопротивляющейся среде), решение которых приводит к важнейшим элементарным функциям. Полнее использован комплексный язык, в частности, выведена формула Эйлера и показано единство основных элементарных функций.

Интегральное исчисление сознательно изложено по возможности на наглядном материале в рамках интеграла Римана. Для большинства приложений этого вполне хватает. Указаны различные приложения интеграла, в том числе приводящие к несобственному интегралу (например, работа выхода из поля тяготения и вторая космическая скорость) или к эллиптическим функциям (движение в поле тяжести при наличии связей, маятник).

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных довольно геометрично. В нем, например, рассмотрены такие важные и полезные следствия теоремы о неявной функции, как криволинейные координаты и локальное приведение к каноническому виду гладких отображений (теорема о ранге) и функций (лемма Морса), а также теория условного экстремума.

Результаты, относящиеся к теории непрерывных функций и дифференциальному исчислению, подытожены и изложены в общем инвариантном виде в двух главах, которые естественным образом примыкают к дифференциальному исчислению вещественнозначных функций нескольких переменных. Эти две главы открывают вторую часть курса. Вторая книга, в которой, кроме

того, изложено интегральное исчисление функций многих переменных, доведенное до общей формулы Ньютона—Лейбница — Стокса, приобретает, таким образом, определенную целостность.

Более полные сведения о второй книге мы поместим в предисловии к ней, а здесь добавим только, что кроме уже перечисленного материала она содержит сведения о рядах функций (степенных рядах и рядах Фурье в том числе), об интегралах, зависящих от параметра (включая фундаментальное решение, свертку и преобразование Фурье), а также об асимптотических разложениях (они обычно мало представлены в учебной литературе).

Остановимся теперь на некоторых частных вопросах.

О введении. Вводного обзора предмета я не писал, поскольку большинство начинающих студентов уже имеют из школы первое представление о дифференциальном и интегральном исчислении и его приложениях, а на большее вступительный обзор вряд ли мог бы претендовать. Вместо него я в первых двух главах довожу до определенной математической завершенности представления бывшего школьника о множестве, функции, об использовании логической символики, а также о теории действительного числа.

Этот материал относится к формальным основаниям анализа и адресован в первую очередь студенту-математику, который в какой-то момент захочет проследить логическую структуру базисных понятий и принципов, используемых в классическом анализе. Собственно математический анализ в книге начинается с третьей главы, поэтому читатель, желающий по возможности скорее получить в руки эффективный аппарат и увидеть его приложения, при первом чтении вообще может начать с главы III, возвращаясь к более ранним страницам в случае, если что-то ему покажется неочевидным и вызовет вопрос, на который, надеюсь, я тоже обратил внимание и предусмотрительно дал ответ в первых главах.

О рубрикации. Материал обеих книг разбит на главы, имеющие сплошную нумерацию. Параграфы нумеруются в пределах каждой главы отдельно; подразделения параграфа нумеруются только в пределах этого параграфа. Теоремы, утверждения, леммы, определения и примеры для большей логической четкости выделяются, а для удобства ссылок нумеруются в пределах каждого параграфа.

О вспомогательном материале. Несколько глав книги написаны как естественное окаймление классического анализа. Это, с одной стороны, уже упоминавшиеся главы I, II, посвященные его формально-математическим основаниям, а с другой стороны, главы IX, X, XV второй части, дающие современный взгляд на теорию непрерывности, дифференциальное и интегральное исчисление, а также глава XIX, посвященная некоторым эффективным асимптотическим методам анализа.

Вопрос о том, какая часть материала этих глав включается в лекционный курс, зависит от контингента слушателей и решается лектором, но некоторые вводимые здесь фундаментальные понятия обычно присутствуют в любом изложении предмета математикам.

В заключение я хотел бы поблагодарить тех, чья дружеская и квалифицированная профессиональная помощь была мне дорога и полезна при работе над этой книгой.

Предлагаемый курс довольно тщательно и во многих аспектах согласовывался с последующими современными университетскими математическими курсами — такими, например, как дифференциальные уравнения, дифференциальная геометрия, теория функций комплексного переменного, функциональный анализ. В этом отношении мне были весьма полезны контакты и обсуждения с В. И. Арнольдом и, особенно многочисленные, с С. П. Новиковым в период совместной работы в экспериментальном потоке при отделении математики.

Много советов я получил от Н. В. Ефимова, заведующего кафедрой математического анализа механико-математического факультета МГУ.

Я признателен также коллегам по кафедре и факультету за замечания к ротапринтному изданию моих лекций.

При работе над книгой ценными оказались предоставленные в мое распоряжение студенческие записи моих лекций последнего времени, за что я благодарен их владельцам.

Я глубоко признателен официальным рецензентам издательства Л. Д. Кудрявцеву, В. П. Петренко, С. Б. Стечкину за конструктивные замечания, значительная часть которых учтена в предлагаемом читателю тексте.

Москва, 1980 В. Зорич