Упражнения

1. а) Установите равномощность отрезка интервала числовой прямой как с помощью теоремы Шрёдера — Бернштейна, так и непосредственным предъявлением нужной биекции.

Разберите следующее доказательство теоремы Шрёдера — Бернштейна

4 Достаточно доказать, что если множества таковы, что то Пусть — биективное отображение. Тогда биекция может быть задана, например, следующим образом:

Здесь итерация отображения множество натуральных чисел.

2. а) Исходя из определения пары, проверьте, что данное в пункте 2 определение прямого произведения множеств X, Y корректно, т. е. множество содержит все упорядоченные пары в которых .

Покажите, что всевозможные отображения одного фиксированного множества X в другое фиксированное множество У сами образуют множество ).

Проверьте, что если — множество упорядоченных пар (т. е. отношение), то первые элементы пар, принадлежащих множеству (как и вторые), сами образуют множество.

3. а) Используя аксиомы объемности, пары, выделения, объединения и бесконечности, проверьте, что для элементов множества натуральных чисел по фон Нейману справедливы следующие утверждения:

Используя то, что — индуктивное множество, покажите, что для любых его элементов х и у (а они в свою очередь являются множествами) справедливы следующие соотношения:

с) Покажите, что в любом подмножестве X множества найдется такой (наименьший) элемент что случае затруднений к этой задаче можно вернуться после прочтения главы II.)

4. Мы будем иметь дело только с множествами. Поскольку множество, состоящее из различных элементов, само может быть элементом другого множества, логики все множества обычно обозначают строчными буквами. В настоящей задаче это очень удобно.

Проверьте, что запись

выражает аксиому объединения, по которой существует множество у — объединение множества

Укажите, какие аксиомы теории множеств представлены записями

Проверьте, что формула

последовательно накладывает на множество три ограничения: есть подмножество ; проекция на х совпадает с каждому элементу из х отвечает ровно один элемент из у такой, что

Таким образом, перед нами определение отображения .

Этот пример еще раз показывает, что формальная запись высказывания отнюдь не всегда бывает более короткой и прозрачной в сравнении с его записью на разговорном языке. Учитывая это обстоятельство, мы будем в дальнейшем использовать логическую символику лишь в той мере, в какой она будет нам представляться полезной для достижения большей компактности или ясности изложения.

5. Пусть — отображение. Запишите логическое отрицание каждого из следующих высказываний:

сюръективно;

инъективно;

биективно.

6. Пусть X и Y — множества и . Запишите, что значит, что множество не является функцией.