Упражнения
1. а) Установите равномощность отрезка 
интервала 
числовой прямой 
как с помощью теоремы Шрёдера — Бернштейна, так и непосредственным предъявлением нужной биекции.
Разберите следующее доказательство теоремы Шрёдера — Бернштейна
4 Достаточно доказать, что если множества 
таковы, что 
то 
Пусть 
— биективное отображение. Тогда биекция 
может быть задана, например, следующим образом:
Здесь 
итерация отображения 
множество натуральных чисел. 
2. а) Исходя из определения пары, проверьте, что данное в пункте 2 определение прямого произведения 
множеств X, Y корректно, т. е. множество 
содержит все упорядоченные пары 
в которых 
.
Покажите, что всевозможные отображения 
одного фиксированного множества X в другое фиксированное множество У сами образуют множество 
).
Проверьте, что если 
— множество упорядоченных пар (т. е. отношение), то первые элементы пар, принадлежащих множеству 
(как и вторые), сами образуют множество.
3. а) Используя аксиомы объемности, пары, выделения, объединения и бесконечности, проверьте, что для элементов множества 
натуральных чисел по фон Нейману справедливы следующие утверждения:
Используя то, что 
— индуктивное множество, покажите, что для любых его элементов х и у (а они в свою очередь являются множествами) справедливы следующие соотношения:
с) Покажите, что в любом подмножестве X множества 
найдется такой (наименьший) элемент 
что 
случае затруднений к этой задаче можно вернуться после прочтения главы II.)
4. Мы будем иметь дело только с множествами. Поскольку множество, состоящее из различных элементов, само может быть элементом другого множества, логики все множества обычно обозначают строчными буквами. В настоящей задаче это очень удобно.
Проверьте, что запись
выражает аксиому объединения, по которой существует множество у — объединение множества 
Укажите, какие аксиомы теории множеств представлены записями
Проверьте, что формула
последовательно накладывает на множество 
три ограничения: 
есть подмножество 
; проекция 
на х совпадает с 
каждому элементу 
из х отвечает ровно один элемент 
из у такой, что 
Таким образом, перед нами определение отображения 
.
Этот пример еще раз показывает, что формальная запись высказывания отнюдь не всегда бывает более короткой и прозрачной в сравнении с его записью на разговорном языке. Учитывая это обстоятельство, мы будем в дальнейшем использовать логическую символику лишь в той мере, в какой она будет нам представляться полезной для достижения большей компактности или ясности изложения.
5. Пусть 
— отображение. Запишите логическое отрицание каждого из следующих высказываний:
сюръективно;
инъективно;
биективно.
6. Пусть X и Y — множества и 
. Запишите, что значит, что множество 
не является функцией.
