2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля — Лебега)

Определение 3. Говорят, что система множеств X покрывает множество если (т. е. если любой элемент у множества содержится по крайней мере в одном из множеств X системы S).

Подмножество множества являющегося системой множеств, будем называть подсистемой системы S. Таким образом, подсистема системы множеств сама является системой множеств того же типа.

Лемма (Борель—Лебег). В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

Пусть — система интервалов покрывающая отрезок Если бы отрезок не допускал покрытия конечным набором интервалов системы S, то, поделив пополам, мы получили бы, что по крайней мере одна из его половинок, которую мы обозначим через 12, тоже не допускает конечного покрытия. С отрезком 12 проделаем ту же процедуру деления пополам, получим отрезок

Таким образом, возникает последовательность вложенных отрезков, не допускающих конечного покрытия интервалами системы Поскольку длина отрезка, полученного на шаге, по построению равна то в последовательности есть отрезки сколь угодно малой длины (см. лемму из § 2, п. 4). По лемме о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая всем отрезкам Поскольку с то найдется интервал системы 5, содержащий точку с, т. е. Пусть Найдем в построенной последовательности такой отрезок что Поскольку с заключаем, что Но это противоречит тому, что отрезок нельзя покрыть конечным набором интервалов системы.