4. Замена переменной в интеграле.

Одной из основных формул интегрального исчисления является формула замены переменной в определенном интеграле. Эта формула в теории интеграла столь же важна, как в дифференциальном исчислении формула дифференцирования композиции функций, с которой она может быть при определенных условиях связана посредством формулы Ньютона—Лейбница.

Утверждение 3. Если — непрерывно дифференцируемое отображение отрезка а в отрезок такое, что то при любой непрерывной на функции функция непрерывна на отрезке и справедливо равенство

Пусть — первообразная функции на Тогда, по теореме о дифференцировании композиции функций, функция является первообразной для функции непрерывной, как композщщя и произведение непрерывных функций на отрезке По формуле Ньютона—Лейбница

Но, по условию, таким образом, равенство (8) действительно имеет место.

Из формулы (8) видно, насколько удобно иметь под интегралом не просто знак функции, а дифференциальное выражение позволяющее после

подстановки автоматически получать правильное подынтегральное выражение в интеграле по новой переменной.

Для того чтобы не осложнять дела громоздким доказательством, мы в утверждении 3 умышленно сузили истинную область применимости формулы (8) и получили (8) из формулы Ньютона—Лейбница. Теперь перейдем к основной теореме о замене переменной, условия которой несколько отличаются от условий утверждения 3. Доказательство этой теоремы будет опираться непосредственно на определение интеграла как предела интегральных сумм.

Теорема 3. Пусть — непрерывно дифференцируемое, строго монотонное отображение отрезка а в отрезок а с соответствием концов или Тогда при любой функции интегрируемой на отрезке функция интегрируема на отрезке и справедливо равенство

Поскольку — строго монотонное отображение отрезка на отрезок с соответствием концов, то любое разбиение отрезка посредством образов точек разбиения Р порождает соответствующее разбиение отрезка которое можно условно обозначить как При этом если если Из равномерной непрерывности на следует, что если то величина тоже стремится к нулю.

Используя теорему Лагранжа, преобразуем интегральную сумму следующим образом:

Здесь лежит на отрезке с концами точки лежат на отрезке с концами

Далее,

Оценим последнюю сумму. Поскольку функция ограничена на Пусть на Тогда

где — отрезок с концами

Последняя сумма стремится к нулю при поскольку — непрерывная на отрезке функция.

Таким образом, мы показали, что

где при Как уже отмечалось, если то и Но поэтому при сумма в левой части последнего равенства стремится к интегралу Значит, при сумма в правой части этого равенства имеет и притом тот же предел.

Но сумму можно считать совершенно произвольной интегральной суммой функции соответствующей разбиению Р с отмеченными точками поскольку, ввиду строгой монотонности любой набор точек можно получить из некоторого соответствующего ему набора точек, отмеченных в отрезках разбиения

Таким образом, предел этой суммы есть, по определению, интеграл от функции по отрезку и мы доказали одновременно как интегрируемость функции на отрезке так и формулу (9).