§ 2. Множество и элементарные операции над множествами

1. Понятие множества.

С конца прошлого — начала нашего столетия наиболее универсальным языком математики стал язык теории множеств. Это проявилось даже в одном из определений математики как науки, изучающей различные структуры (отношения) на множествах.

«Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» — так описал понятие «множество» Георг Кантор, основатель теории множеств.

Описание Кантора, разумеется, нельзя назвать определением, поскольку оно апеллирует к понятиям, быть может, более сложным (во всяком случае, не определенным ранее), чем само понятие множества. Цель этого описания — разъяснить понятие, связав его с другими.

Основные предпосылки канторовской (или, как условно говорят, «наивной») теории множеств сводятся к следующему:

1° Множество может состоять из любых различимых объектов.

2° Множество однозначно определяется набором составляющих его объектов.

3° Любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают.

Если х — объект, Р — свойство, — обозначение того, что обладает свойством Р, то через обозначают весь класс объектов, обладающих свойством Р. Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества.

Множество, состоящее из элементов обычно обозначают как Там, где это не вызывает недоразумения, для сокращения записи мы позволяем себе обозначать одноэлементное множество просто через а.

Слова «класс», «семейство», «совокупность», «набор» в наивной теории множеств употребляют как синонимы термина «множество».

Следующие примеры демонстрируют применение этой терминологии:

множество букв в слове множество жен Адама; набор из десяти цифр; семейство бобовых; множество песчинок на Земле;

совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух данных ее точек;

семейство множеств; множество всех множеств.

Различие в возможной степени определенности задания множества наводит на мысль, что множество — не такое уж простое и безобидное понятие.

И в самом деле, например, понятие множества всех множеств просто противоречиво.

Действительно, пусть для множества М запись означает, что М не содержит себя в качестве своего элемента.

Рассмотрим класс множеств, обладающих свойством Р.

Если К — множество, то либо верно, что либо верно, что Однако эта альтернатива для К невозможна. Действительно, невозможно, ибо из определения К тогда бы следовало, что К содержит К, т. е. что верно с другой стороны, тоже невозможно, поскольку это означает, что К содержит К, а это противоречит определению К как класса тех множеств, которые сами себя не содержат.

Следовательно, К — не множество.

Это классический парадокс Рассела один из тех парадоксов, к которым приводит наивное представление о множестве.

В современной математической логике понятие множества подвергается (как мы видим, не без оснований) тщательному анализу. Однако в такой анализ мы углубляться не станем. Отметим только, что в существующих аксиоматических теориях множество определяется как математический объект, обладающий определенным набором свойств.

Описание этих свойств составляет аксиоматику. Ядром аксиоматики теории множеств является постулирование правил, по которым из множеств

можно образовывать новые множества. В целом любая из существующих аксиоматик такова, что она, с одной стороны, избавляет от известных противоречий наивной теории, а с другой — обеспечивает свободу оперирования с конкретными множествами, возникающими в различных отделах математики, и в первую очередь именно в математическом анализе, понимаемом в широком смысле слова.

Ограничившись пока этими замечаниями относительно понятия множества, перейдем к описанию некоторых наиболее часто используемых в анализе свойств множеств.

Желающие подробнее ознакомиться с понятием множества могут просмотреть пункт 2 из § 4 настоящей главы или обратиться к специальной литературе.