§ 2. Основные правила дифференцирования

Построение дифференциала заданной функции или, что равносильно, отыскание ее производной называется операцией дифференцирования функции.

1. Дифференцирование и арифметические операции

Теорема 1. Если функции дифференцируемы в точке , то

a) их сумма дифференцируема в х, причем

b) их произведение дифференцируемо в х, причем

c) их отношение дифференцируемо в х, если причем

М В доказательстве мы будем опираться на определение дифференцируемой функции и свойства символа установленные в гл. III, § 2, п. 4.

c) Поскольку функция, дифференцируемая в некоторой точке , непрерывна в этой точке, то, учитывая, что на основании свойств непрерывных функций можем гарантировать, что при достаточно малых

значениях также . В следующих выкладках предполагается, что мало:

Мы воспользовались тем, что в силу непрерывности функции в точке х и того, что

т. е.

где есть бесконечно малая при

Следствие 1. Производная от линейной комбинации дифференцируемых функций равна линейной комбинации производных этих функций.

Поскольку постоянная функция, очевидно, дифференцируема и ее производная всюду равна нулю, то, считая в утверждении теоремы 1, что имеем

Используя теперь утверждение а) теоремы 1, можем записать

С учетом доказанного, по индукции проверяем, что

Следствие 2. Если функции дифференцируемы в точке х, то

Для утверждение очевидно.

Если оно справедливо для некоторого то в силу утверждения

теоремы 1 оно справедливо также для . В силу принципа индукции заключаем о верности приведенной формулы для любого

Следствие 3. Из взаимосвязи производной и дифференциала следует, что теорема 1 может быть записана также через дифференциалы. Именно:

Проверим, например, а). Действительно,

и совпадение функций проверено.

Пример 1. Инвариантность определения скорости. Теперь мы в состоянии проверить, что вектор мгновенной скорости материальной точки, который был определен в § 1, не зависит от выбора системы декартовых координат. Мы проверим это даже для любой из аффинных систем координат.

Пусть — координаты одной и той же точки плоскости в двух различных системах координат, связанных между собой соотношениями

Поскольку любой вектор (в аффинном пространстве) определяется парой точек, а его координаты суть разности координат начала и конца вектора, то координаты одного и того же вектора в этих двух системах должны быть связаны соотношениями

Если закон движения точки в одной системе задается функциями то в другой — функциями связанными с первыми посредством соотношений (1).

Дифференцируя соотношения (1) по времени по правилам дифференцирования находим

Таким образом, координаты вектора скорости в первой системе и координаты вектора скорости во второй системе оказались связанными соотношениями (2), говорящими нам о том, что мы имеем дело с двумя различными записями одного и того же вектора.

Пример 2. Пусть Покажем, что — всюду, где т. е. в области определения функции

В примерах 1 и 2 из § 1 было показано, что поэтому из утверждения с) теоремы 1 получаем при

Пример т. е. в области определения функции

Действительно,

Пример 4. Если — полином, то

Действительно, поскольку то по следствию и теперь утверждение вытекает из следствия 1.