2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении.

Следующее утверждение является одним из наиболее часто используемых и важных средств исследования числовых функций.

Теорема 1 (теорема Лагранжа о конечном приращении). Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале то найдется точка такая, что

Рис. 21

Для доказательства рассмотрим вспомогательную функцию

которая, очевидно, непрерывна на отрезке дифференцируема в интервале и на его концах принимает равные значения: Применяя к теорему Ролля, найдем точку в которой

Замечания к теореме Лагранжа. 1° Геометрически теорема Лагранжа означает (рис. 21), что в некоторой точке где

касательная к графику функции будет параллельна хорде, соединяющей точки ибо угловой коэффициент последней равен

2° Если х интерпретировать как время, а — как величину перемещения за время частицы, движущейся вдоль прямой, то теорема Лагранжа означает, что скорость частицы в некоторый момент такова, что если бы в течение всего промежутка времени частица двигалась с постоянной скоростью то она сместилась бы на ту же величину Величину естественно считать средней скоростью движения в промежутке

3° Отметим, однако, что при движении не по прямой средней скорости в смысле замечания 2° может не быть. Действительно, пусть, например, частица движется по окружности единичного радиуса с постоянной угловой скоростью Закон ее движения, как мы знаем, можно записать в виде

Тогда

В моменты частица находится в одной и той же точке плоскости и равенство

означало бы, что но это невозможно.

Однако мы сознаем, что зависимость между перемещением за некоторый промежуток времени и скоростью движения все же имеется. Она состоит в том, что даже вся длина пройденного пути не может превышать максимальной по величине скорости, умноженной на время в пути. Сказанное можно записать в следующей более точной форме:

Как будет в свое время показано, это естественное неравенство действительно всегда справедливо. Его тоже называют теоремой Лагранжа о конечном приращении, а формулу (2), справедливую только для числовых функций, часто называют теоремой Лагранжа о среднем значении (роль среднего в данном случае играет как величина скорости, так и точка лежащая между а и

4° Теорема Лагранжа важна тем, что она связывает приращение функции на конечном отрезке с производной функции на этом отрезке. До сих пор мы не имели такой теоремы о конечном приращении и характеризовали только локальное (бесконечно малое) приращение функции через производную или дифференциал в фиксированной точке.

Следствия теоремы Лагранжа

Следствие 1 (признак монотонности функции). Если в любой точке некоторого интервала производная функции неотрицательна (положительна), то функция не убывает (возрастает) на этом интервале.

Действительно, если — две точки нашего интервала и то по формуле (2)

и, таким образом, знак разности, стоящей в левой части равенства, совпадает со знаком

Разумеется, аналогичное утверждение можно высказать о невозрастании (убывании) функции с неположительной (отрицательной) производной.

Замечание. На основании теоремы об обратной функции и следствия 1, в частности, можно заключить, что если на каком-то промежутке I числовая функция имеет положительную или отрицательную производную, то функция непрерывна на монотонна на имеет обратную функцию определенную на промежутке и дифференцируемую на нем.

Следствие 2 (критерий постоянства функции). Непрерывная на отрезке функция постоянна на нем тогда и только тогда, когда ее производная равна нулю в любой точке отрезка (или хотя бы интервала

Интерес представляет только доказательство того факта, что если на то для любых имеет место равенство Но это вытекает из теоремы Лагранжа, по которой

ибо лежит между

Замечание. Отсюда, очевидно, можно сделать следующий (как мы увидим, очень важный для интегрального исчисления) вывод: если производные двух функций совпадают на некотором промежутке, т. е. то на этом промежутке разность есть постоянная функция.

Полезным обобщением теоремы Лагранжа, которое тоже основано на теореме Ролля, является следующее

Утверждение 2 (теорема Коши о конечном приращении). Пусть — функции, непрерывные на отрезке и дифференцируемые в интервале

Тогда найдется точка такая, что

Если к тому же при любом то и справедливо равенство

Функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке поэтому найдется точка в которой что равносильно доказываемому равенству. Чтобы получить из него соотношение (4), остается заметить, что если на то по той же теореме Ролля

Замечания к теореме Коши. 1° Если пару функций рассматривать как закон движения частицы, то есть вектор ее скорости в момент есть вектор ее смещения за промежуток времени и теорема утверждает, что в некоторый момент эти векторы коллинеарны. Однако этот факт, относящийся к движению в плоскости, является таким же приятным исключением, каким является теорема о средней скорости в случае движения по прямой. В самом деле, представьте себе частицу, равномерно поднимающуюся по винтовой линии. Ее скорость составляет постоянный ненулевой угол с вертикалью, в то время как вектор смещения может быть и вертикальным (один виток).

2° Формулу Лагранжа можно получить из формулы Коши, если в последней положить