§ 7. Поверхность в R^n и теория условного экстремума

Для неформального понимания важной в приложениях теории условного экстремума весьма полезно иметь некоторые начальные сведения о поверхностях (многообразиях) в пространстве

1. Поверхность размерности k в R^n

Обобщая понятие закона движения материальной точки, мы в свое время ввели понятие пути в как непрерывного отображения промежутка Степень гладкости пути определялась как степень гладкости этого отображения. Носитель пути мог быть довольно причудливым множеством в которое иногда только с очень большой натяжкой можно было бы назвать линией. Например, носитель пути мог оказаться просто точкой.

Аналогично, непрерывное или гладкое отображение -мерного промежутка Если называемое k-путем в может иметь в качестве образа совсем не то, что хотелось бы назвать -мерной поверхностью в Например, это снова может быть точка.

Чтобы гладкое отображение области определяло в -мерную геометрическую фигуру, точки которой описываются к независимыми параметрами достаточно, как мы знаем из предыдущего параграфа, потребовать, чтобы в каждой точке ранг отображения был равен к (разумеется, к В этом случае отображение локально (т. е. в окрестности любой точки является взаимно однозначным.

Действительно, пусть и он реализуется, например, на первых к из функций

задающих координатную запись отображения

Тогда по теореме об обратной функции переменные в некоторой окрестности точки можно выразить через переменные Значит, множество может быть записано в виде

(т. е. оно взаимно однозначно проектируется на координатную плоскость и потому отображение действительно взаимно однозначное.

Однако уже на примере одномерного гладкого пути (рис. 61) ясно, что подобная локальная взаимная однозначность отображения из области параметров в пространство вовсе не обязана быть взаимной однозначностью в целом.

Траектория может иметь многократные самопересечения, поэтому если мы желаем определить гладкую -мерную поверхность в и видеть ее как множество, которое около каждой своей точки устроено как несколько деформированный кусок -мерной плоскости (-мерного подпространства пространства то нам не достаточно регулярно отображать канонический кусок k-мерной поверхности в пространство но необходимо также следить за тем, как он в целом оказывается вложенным в это пространство.

Рис. 61

Рис. 62

Определение 1. Множество Если будем называть k-мерной гладкой поверхностью в пространстве (или k-мерным подмногообразием если для любой точки найдутся окрестность в диффеоморфизм этой окрестности на стандартный -мерный промежуток пространства при котором образ множества совпадает с лежащей в I частью -мерной плоскости пространства задаваемой соотношениями (рис. 62).

Степень гладкости поверхности будем измерять степенью гладкости диффеоморфизма .

Если смотреть на переменные как на новые координаты в окрестности то определение 1 в сокращенном варианте можно переформулировать следующим образом: множество называется -мерной поверхностью (-мерным подмногообразием) в если для любой точки можно указать окрестность и такие координаты в ней, что множество в этих координатах задается соотношениями

Роль стандартного промежутка в определении 1 чисто условная и примерно такая же, как роль стандартного размера или формы страницы в географическом атласе. Каноническое расположение промежутка в системе координат также относится к области стандартизации и не более того, поскольку любой куб в дополнительным линейным диффеоморфизмом всегда можно преобразовать в стандартный -мерный промежуток.

Эти замечанием мы часто будем пользоваться, сокращая проверку того, что некоторое множество является поверхностью в

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Само пространство является -мерной поверхностью класса В качестве отображения здесь можно взять, например, отображение

Пример 2. Построенное в примере 1 отображение заодно устанавливает, что подпространство векторного пространства задаваемое условиями является -мерной поверхностью в (или -мерным подмногообразием

Пример 3. Множество в задаваемое системой соотношений

при условии, что ранг этой системы равен является -мерным подмногообразием

Действительно, пусть, например, определитель

отличен от нуля. Тогда линейное преобразование

очевидно, является невырожденным. В координатах наше множество задается условиями уже рассмотренными в примере 2.

Пример 4. График определенной в некоторой области Если гладкой функции является гладкой -мерной поверхностью в

Действительно, полагая

мы получаем систему координат, в которой график нашей функции имеет уравнение

Пример 5. Окружность в является одномерным подмногообразием в что устанавливается разобранным в предыдущем параграфе локально обратимым переходом к полярным координатам в которых окружность имеет уравнение

Пример 6. Этот пример является обобщением примера 3 и вместе с тем, как видно из определения 1, дает общую форму координатной записи подмногообразий пространства

Пусть — система гладких функций ранга Покажем, что соотношения

задают в подмногообразие размерности к.

Пусть в точке выполнено условие

Тогда преобразование

в силу теоремы об обратной функции является диффеоморфизмом некоторой окрестности рассматриваемой точки.

В координатах исходная система будет иметь вид таким образом, является -мерной гладкой поверхностью в

Пример 7. Множество Е точек плоскости удовлетворяющих уравнению состоит из двух прямых, пересекающихся в начале координат. Это множество не является одномерным подмногообразием М? (проверьте!) именно из-за указанной точки пересечения.

Если удалить из Е начало координат то множество очевидно, будет удовлетворять определению 1. Заметим, что множество несвязно. Оно состоит из четырех не имеющих общих точек лучей.

Таким образом, удовлетворяющая определению поверхность в может оказаться несвязным подмножеством, состоящим из некоторого числа связных компонент (и уже эти компоненты являются связными -мерными поверхностями). Часто под поверхностью в понимают именно связную -мерную поверхность. Сейчас нас будут интересовать проблемы отыскания экстремумов функций, заданных на поверхностях. Это локальные проблемы, поэтому в них условие связности поверхности не проявляется.

Пример 8. Если гладкое отображение области Если задаваемое в координатном виде соотношениями (1), имеет в точке ранг k, то найдется такая окрестность Если этой точки, образ которой является гладкой поверхностью в

Действительно, как уже отмечалось выше, в этом случае соотношения (1) могут быть в некоторой окрестности точки заменены эквивалентной им системой соотношений

(для упрощения записи мы считаем, что уже система функций имеет ранг к). Полагая

записываем систему (4) в виде (2). Поскольку соотношение (3) выполнено, то в силу примера 6 множество действительно является -мерной гладкой поверхностью в