4. Правило Лопиталя.

Остановимся теперь на одном частном, но иногда полезном приеме отыскания предела отношения функций, известном как правило Лопиталя.

Утверждение 8 (правило Лопиталя). Пусть функции дифференцируемы на интервале причем на и

Тогда в каждом из двух следующих случаев:

или

будет

Аналогичное утверждение справедливо и при

Коротко, но не вполне точно правило Лопиталя формулируют так: предел отношения функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Если , то на основании теоремы Ролля заключаем, что строго монотонна на Значит, уменьшив, если нужно, промежуток за счет сдвига в сторону конца а, можно считать, что на Для по теореме Коши найдется точка такая, что

Перепишем это равенство в удобном для нас сейчас виде

При согласованно с изменением х будем стремить у к так, чтобы при этом

В любом из данных нам двух вариантов 1° и 2° это, очевидно, можно сделать. Так как лежит между х и у, то вместе с х и у также . Значит, правая, а следовательно, и левая часть последнего равенства при этом стремятся к А.

Пример 19. .

Этот пример не следует рассматривать как новое, независимое доказательство того, что при Дело в том, что, например, при выводе соотношения мы уже использовали вычисленный здесь предел.

В возможности применения правила Лопиталя всегда убеждаемся только после того, как найдем предел отношения производных. При этом не следует забывать о проверке условий 1° или 2°. Важность этих условий показывает следующий

Пример 20. Пусть Тогда при в то время как при

Пример 21.

Пример 22.

при ибо при , очевидно, , если

Заметим, что вся цепочка последних равенств носила условный характер до тех пор, пока мы не пришли к выражению, предел которого смогли найти.