§ 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами

1. Натуральные числа и принцип математической индукции

а. Определение множества натуральных чисел. Числа вида обозначают соответственно символами и. т. д. и называют натуральными числами.

Принять такое определение может только тот, кто и без него имеет полное представление о натуральных числах, включая их запись, например, в десятичной системе счисления.

Продолжение какого-то процесса далеко не всегда бывает однозначным, поэтому вездесущее «и так далее» на самом деле требует уточнения, которое доставляет фундаментальный принцип математической индукции.

Определение 1. Множество называется индуктивным, если вместе с каждым числом ему принадлежит также число

Например, К является индуктивным множеством; множество положительных чисел также является индуктивным множеством.

Пересечение любого семейства индуктивных множеств если оно непусто, является индуктивным множеством.

Действительно,

Теперь примем следующее

Определение 2. Множеством натуральных чисел называется наименьшее индуктивное множество, содержащее 1, т. е. пересечение всех индуктивных множеств, содержащих число 1.

Множество натуральных чисел обозначают символом его элементы называются натуральными числами.

С теоретико-множественной точки зрения, быть может, разумнее натуральные числа начинать с 0, т. е. вводить множество натуральных чисел как наименьшее индуктивное множество, содержащее 0, однако нам удобнее начинать нумерацию числом 1.

Следующий фундаментальный и широко используемый принцип является прямым следствием определения множества натуральных чисел.

Принцип математической индукции

Если подмножество Е множества натуральных чисел таково, что и вместе с числом множеству Е принадлежит число то

Итак,

Проиллюстрируем этот принцип в действии, доказав с его помощью несколько полезных и постоянно в дальнейшем используемых свойств натуральных чисел.

1° Сумма и произведение натуральных чисел являются натуральными числами.

Пусть покажем, что Обозначим через Е множество тех натуральных чисел для которых при любом Тогда поскольку для любого Если то и , так как По принципу индукции и мы доказали, что сложение не выводит за пределы

Аналогично, обозначив через Е множество тех натуральных чисел для которых при любом находим, что , так как и если то есть сумма натуральных чисел, которая по доказанному принадлежит Таким образом, и по принципу индукции

Покажем, что

Рассмотрим множество Е натуральных чисел вида где — натуральное число, отличное от 1, и покажем, что

Поскольку то значит,

Если то где тогда и, поскольку имеем . По принципу индукции заключаем:

Для любого множестве есть минимальный элемент, причем

Покажем, что множество Е тех для которых утверждение справедливо, совпадает с

Сначала проверим, что т. е.

Это утверждение тоже будем проверять по принципу индукции. Пусть

По определению М имеем . Далее, если , то либо и тогда , либо тогда и снова . Таким образом, и, значит, если то , т. е. действительно Итак, .

Покажем теперь, что если то и

В самом деле, если то

ибо по доказанному все натуральные числа не меньше 1, поэтому , а тогда в силу утверждения 2°

Если , то Значит,

и, следовательно, .

По принципу индукции и утверждение 3° доказано.

В качестве прямых следствий доказанных утверждений 2° и 3° получаем следующие свойства 4°, 5°, 6° натуральных чисел:

5° Число непосредственно следует за натуральным числом т. е. нет натуральных чисел х, удовлетворяющих условию если

6° Если то число непосредственно предшествует числу т. е. нет натуральных чисел х, удовлетворяющих условию если

7° Покажем теперь, что в любом непустом подмножестве множества натуральных чисел имеется минимальный элемент.

Пусть Если , то поскольку

Пусть теперь . В множестве Е должно найтись такое натуральное число , что все натуральные числа, не превосходящие лежат в В, а . Если бы такого не было, то множество Е с содержащее единицу, вместе с содержало бы и и по принципу индукции совпадало бы с Последнее невозможно, поскольку

Найденное число будет минимальным в М, поскольку между как мы видели, уже нет натуральных чисел.