ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

I семестр

Введение в анализ (число, функция, предел) Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Действительные числа. Ограниченные (сверху, снизу) числовые множества. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани множества. Неограниченность множества натуральных чисел.

2. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел (вложенные отрезки, конечное покрытие, предельная точка).

3. Предел последовательности и критерий Коши его существования. Критерий существования предела монотонной последовательности.

4. Ряд и его сумма. Геометрическая прогрессия. Критерий Коши и необходимое условие гходимости ряда. Гармонический ряд. Абсолютная сходимость.

5. Критерий сходимосгл ряда с неотрицательными членами. Теорема сравнения. Ряд

6. Идея логарифма и число . Функция и представляющий ее степенной ряд.

7. Предел функции. Основные базы предельного перехода. Определение предела функции при произвольной базе и его расшифровка в конкретных случаях. Бесконечно малые функции и их свойства Сравнения финального поведения функций, асимптотические формулы и основные операции с символами

8. Взаимосвязь предельного перехода с алгебраическими операциями и отношением порядка в Предел --при

9. Предел композиции функций и монотонной функции. Предел н- при X —V

10. Критерий Коши существования предела функции.

11. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций (локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические операции, непрерывность композиции). Непрерывность многочлена, рациональной функции и тригонометрических функций.

12. Глобальные свойства непрерывных функций (промежуточные значения, максимумы, равномерная непрерывность).

13. Разрывы монотонной функции. Теорема об обратной функции. Непрерывность обратных тригонометрических функций.

14. Закон движения, перемещение за малое время, вектор мгновенной скорости, траектория и касательная к ней. Определение дифференцируемости функции в точке. Дифференциал, его область определения и область значений. Единственность дифференциала. Производная вещественнозначной функции вещественного переменного и ее геометрический смысл. Дифференцируемость функций

15. Дифференцируемость и арифметические операции. Дифференцирование многочлена, рациональной функции, тангенса и котангенса.

16. Дифференциал композиции функций и обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

17. Локальный экстремум функции. Необходимое условие внутреннего экстремума дифференцируемой функции (лемма Ферма).

18. Теорема Ролдя. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении (о среднем).

19. Формула Тейлора с остаточными членами в формах Коши и Лагранжа.

20. Ряд Тейлора. Тейлоровские разложения функций (бином Ньютона).

21. Локальная формула Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано).

22. Взаимосвязь характера монотонности дифференцируемой функции и положительности ее производной. Достаточные условия наличия или отсутствия локального экстремума в терминах первой, второй и высших производных

23. Выпуклая функция. Дифференциальные условия выпуклости. Расположение графика выпуклой функции по отношению касательной.

24. Общее неравенство Ионсена для выпуклой функции. Выпуклость (вогнутость) логарифма. Классические неравенства Коши, Юнга, Гёльдера и Минковского.

25. Комплексное число в алгебраической и тригонометрической записи. Сходимость последовательности комплексных чисел и ряда с комплексными членами. Критерий Коши. Абсолютная сходимость и достаточные признаки абсолютной сходимости ряда с комплексными членами. Предел

26. Круг сходимости и радиус сходимости степенного ряда. Определение функций . Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций.

27. Дифференциальные уравнения как математическая модель явления, примеры. Метод неопределенных коэффициентов и метод ломаных Эйлера.

28. Первообразная, основные общие приемы ее отыскания (почленное интегрирование слагаемых, интегрирование по частям, замена переменной). Первообразные основных элементарных функций.

II семестр

Интеграл (функции одной переменной) Дифференциальное исчисление функций многих переменных

1. Интеграл Римана на отрезке. Необходимое условие интегрируемости. Множества меры нуль, их общие свойства, примеры. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (формулировка). Пространство интегрируемых функций и допустимые операции над интегрируемыми функциями.

2. Линейность, аддитивность и общая оценка интеграла.

3. Оценки интеграла от вещественнозначной функции. Теорема о среднем (первая).

4. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Существование первообразной у непрерывной функции. Обобщенная первообразная и ее общий вид.

5. Формула Ньютона — Лейбница. Замена переменной в интеграле.

6. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Формула Тейлора с интегральным остатком. Вторая теорема о среднем.

7. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл. Общая схема появления интеграла в приложениях, примеры: длина пути (и ее независимость от параметризации), площадь криволинейной трапеции, объем тела вращения, работа, энергия.

8. Интеграл Римана—Стилтьеса. Условия сведения к интегралу Римана. Сингулярности и дельта-функция Дирака. Понятие обобщенной функции.

9. Понятие несобственного интеграла. Канонические интегралы. Критерий Коши и теорема сравнения для исследования сходимости несобственного интеграла. Интегральный признак сходимости ряда.

10. Локальная линеаризация, примеры: мгновенная скорость и перемещение; упрощение уравнения движения при малых колебаниях маятника; вычисление линейных поправок к значениям величин при малом изменении аргументов (здесь А — обратимая, Е — единичная матрицы; — векторы; — скалярное произведение).

11. Норма (длина, модуль) вектора в векторном пространстве; важнейшие примеры. Пространство линейных непрерывных операторов и норма нем. Непрерывность линейного оператора и конечность его нормы.

12. Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал, его область определения и область значений. Координатная запись дифференциала отображения Соотношения между дифференцируемостью, непрерывностью и наличием частных производных.

13. Дифференцирование композиции функций и обратной функции. Координатная запись полученных законов применительно к различным случаям отображений

14. Производная по вектору и градиент. Геометрические и физические примеры использования градиента (уровни функции, градиентный спуск, касательная

плоскость; потенциальные поля; уравнение Эйлера динамики идеальной жидкости, закон Бернулли, работа крыла).

15. Однородные функции и соотношение Эйлера. Метод размерностей.

16. Теорема о конечном приращении. геометрический и физический смысл. Примеры приложений (достаточное условие дифференцируемости в терминах частных производных; условие постоянства функции в области).

17. Высшие производные и их симметричность.

18. Формула Тейлора.

19. Экстремумы функций (необходимые и достаточные условия внутреннего экстремума).

20. Сжимающие отображения. Принцип Пикара—Банаха неподвижной точки.

21. Теорема о неявной функции.

22. Теорема об обратной функции. Криволинейные координаты и выпрямления. Гладкая поверхность размерности к в и касательная плоскость к ней. Способы задания поверхности и соответствующие им уравнения касательного пространства.

23. Теорема о ранге и зависимость функций.

24. Условный экстремум (необходимый признак). Геометрическая, алгебраическая и физическая интерпретации метода Лагранжа.

25. Достаточный признак условного экстремума.

26. Метрическое пространство, примеры. Открытые и замкнутые подмножества. Окрестность точки. Индуцированная метрика, подпространство. Топологическое пространство. Окрестность точки, отделимость (аксиома Хаусдорфа). Топология, индуцируемая на подмножествах. Замыкание множества и описание относительно замкнутых подмножеств.

27. Компакт, его абсолютность. Замкнутость компакта и компактность замкнутого подмножества компакта. Вложенные компакты. Метрические компакты, -сеть. Критерий метрического компакта и его конкретизация в пространстве

28. Полное метрическое пространство. Полнота и пространства непрерывных функций относительно равномерной сходимости.

29. Критерий непрерывности отображения топологических пространств. Сохранение компактности и связности при непрерывном отображении. Классические теоремы об ограниченности, максимуме и промежуточном значении для непрерывных функций. Равномерная непрерывность на метрическом компакте.