2. Линейные отображения L : R^m -> R^n.
Напомним, что отображение 
векторного пространства X в векторное пространство 
называется линейным, если для любых 
выполнено
Нас будут интересовать линейные отображения 
Если 
— фиксированные базисы пространств 
соответственно, то, зная разложения
образов векторов базиса при линейном отображении 
мы в силу линейности преобразования 
можем найти разложение по базису 
образа 
любого вектора 
именно:
Значит, в координатной записи:
Отображение 
при фиксированном в 
базисе можно, таким образом, рассматривать как набор
из 
(координатных) отображений 
С учетом (8) легко заключаем, что отображение 
линейно тогда и только тогда, когда каждое отображение 
набора (9) линейно. Если записать набор (9) в виде столбца, то с учетом соотношения (8) имеем
Итак, фиксация базисов в 
позволяет установить взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями 
матрицами 
При этом столбец с номером
матрицы 
отвечающей отображению 
состоит из координат образа 
вектора 
Координаты образа 
произвольного вектора 
могут быть получены из соотношения (10) умножением матрицы линейного отображения на столбец координат вектора 
При наличии в 
структуры векторного пространства можно говорить о линейной комбинации 
отображений 
полагая
В частности, линейная комбинация линейных отображений 
есть, в соответствии с определением (11), отображение
которое, очевидно, линейно. Матрица этого отображения есть соответствующая линейная комбинация матриц отображений 
Композиция 
о А линейных отображений 
очевидно, также является линейным отображением, матрица которого, как следует из (10), есть произведение матрицы отображения А и матрицы отображения В (на которую умножаем слева). Кстати, закон умножения матриц определен известным вам образом именно для того, чтобы композиции отображений отвечало произведение матриц.
