2. Линейные отображения L : R^m -> R^n.

Напомним, что отображение векторного пространства X в векторное пространство называется линейным, если для любых выполнено

Нас будут интересовать линейные отображения

Если — фиксированные базисы пространств соответственно, то, зная разложения

образов векторов базиса при линейном отображении мы в силу линейности преобразования можем найти разложение по базису образа любого вектора именно:

Значит, в координатной записи:

Отображение при фиксированном в базисе можно, таким образом, рассматривать как набор

из (координатных) отображений

С учетом (8) легко заключаем, что отображение линейно тогда и только тогда, когда каждое отображение набора (9) линейно. Если записать набор (9) в виде столбца, то с учетом соотношения (8) имеем

Итак, фиксация базисов в позволяет установить взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями матрицами При этом столбец с номером

матрицы отвечающей отображению состоит из координат образа вектора Координаты образа произвольного вектора могут быть получены из соотношения (10) умножением матрицы линейного отображения на столбец координат вектора

При наличии в структуры векторного пространства можно говорить о линейной комбинации отображений полагая

В частности, линейная комбинация линейных отображений есть, в соответствии с определением (11), отображение

которое, очевидно, линейно. Матрица этого отображения есть соответствующая линейная комбинация матриц отображений

Композиция о А линейных отображений очевидно, также является линейным отображением, матрица которого, как следует из (10), есть произведение матрицы отображения А и матрицы отображения В (на которую умножаем слева). Кстати, закон умножения матриц определен известным вам образом именно для того, чтобы композиции отображений отвечало произведение матриц.