3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора

Утверждение 1. Если функции непрерывно дифференцируемы на отрезке с концами а и то справедливо соотношение

Эту формулу принято записывать в сокращенном виде

и называть формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

По правилу дифференцирования произведения функций имеем

По условию все функции в этом равенстве непрерывны, а значит, и интегрируемы на отрезке с концами a и b. Используя линейность интеграла и формулу Ньютона—Лейбница, получаем

В качестве следствия получим теперь формулу Тейлора с интегральным остаточным членом.

Пусть на отрезке с концами а их функция имеет непрерывных производных. Используя формулу Ньютона—Лейбница и формулу (6), проделаем следующую цепочку преобразований, в которых все дифференцирования и подстановки производятся по переменной

где

Итак, доказано следующее

Утверждение 2. Если функция имеет на отрезке с концами а и х непрерывные производные до порядка включительно, то справедлива формула Тейлора

с остатком представленным в интегральной форме (7).

Отметим, что функция не меняет знак на отрезке с концами а и и поскольку функция непрерывна на этом отрезке, то по первой

теореме о среднем на нем найдется такая точка что

Мы вновь получили знакомую форму Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора. (На основании задачи из предыдущего параграфа, можно считать, что лежит в интервале с концами

Это рассуждение можно было бы повторить, вынося из-под знака интеграла где Значениям отвечают получаемые при этом соответственно формулы Копта и Лагранжа остаточного члена.