2. Длина пути.

Пусть частица движется в пространстве и пусть известен закон ее движения где — прямоугольные декартовы координаты точки в момент времени

Мы хотим определить длину пути, пройденного точкой за промежуток времени

Уточним некоторые понятия.

Определение 1. Путем в пространстве называется отображение числового промежутка в пространство задаваемое непрерывными на этом промежутке функциями

Определение 2. Бели есть путь, для которого областью изменения параметра является отрезок то точки

пространства называются соответственно началом и концом пути.

Определение 3. Путь называется замкнутым, если он имеет и начало, и конец и эти точки совпадают.

Определение 4. Если — путь, то образ промежутка I в пространстве называется носителем пути.

Носитель абстрактного пути может оказаться вовсе не тем, что мы хотели бы назвать линией. Существуют примеры путей, носители которых, например, содержат целый трехмерный куб (так называемые «кривые» Пеано). Однако если функции достаточно регулярны (как, например, в случае механического движения, когда они дифференцируемы), то ничего противоречащего нашей интуиции, как можно строго проверить, заведомо не произойдет.

Определение 5. Путь для которого отображение взаимно однозначно, называется простым путем или параметризованной кривой, а его носитель — кривой в

Определение 6. Замкнутый путь называется простым замкнутым путем или простой замкнутой кривой, если путь является простым.

Значит, простой путь отличается от произвольного пути тем, что при движении по его носителю мы не возвращаемся в прежние точки, т. е. не пересекаем свою траекторию нигде, кроме, быть может, ее конца, если простой путь замкнут.

Определение 7. Путь называется путем данного класса гладкости, если задающие его функции принадлежат указанному классу.

(Например, классу или

Определение 8. Путь называется кусочно гладким, если отрезок можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых соответствующее ограничение отображения Г задается непрерывно дифференцируемыми функциями.

Именно гладкие пути, т. е. пути класса и кусочно гладкие пути мы и будем сейчас рассматривать.

Вернемся к исходной задаче, которую теперь можно сформулировать как задачу определения длины гладкого пути

Наши исходные представления о длине пути, пройденного в промежуток времени а таковы: во-первых, если то

и во-вторых, если есть скорость точки в момент , то

Таким образом, если функции непрерывно дифференцируемы на , то в силу утверждения 1 мы однозначно приходим к формуле

которую и принимаем теперь как определение длины гладкого пути

Если то носитель пути лежит в плоскости и формула (3) приобретает вид

Пример 3. Опробуем формулу (4) на знакомом объекте. Пусть точка движется в плоскости по закону

За промежуток времени [0,1] точка один раз пробежит окружность радиуса т. е. пройдет путь длины если длина окружности вычисляется по этой формуле.

Проведем расчет по формуле (4):

Несмотря на ободряющее совпадение результатов, проведенное рассуждение содержит некоторые логические пробелы, на которые стоит обратить внимание.

Функции , если принять их школьное определение, суть декартовы координаты образа точки при повороте на угол а.

Величина а с точностью до знака измеряется длиной дуги окружности заключенной между . Таким образом, при этом подходе к тригонометрическим функциям их определение опирается на понятие длины дуги окружности и, значит, вычисляя выше длину окружности, мы совершили в известном смысле логический круг, задав параметризацию окружности в виде (5). 1

Однако эта трудность, как мы сейчас увидим, не принципиальная, ибо параметризацию окружности можно задать, вовсе не прибегая к тригонометрическим функциям.

Рассмотрим задачу о вычислении длины графика функции определенной на некотором отрезке . Имеется в виду вычисление длины пути имеющего специальный вид параметризации

из которого можно заключить, что отображение взаимно однозначно. Значит, по определению 5 график функции есть кривая в

Формула (4) в данном случае упрощается, поскольку, полагая в ней получаем

В частности, если рассмотреть полуокружность

окружности то для нее получим

Но под знаком последнего интеграла стоит неограниченная функция и, значит, он не существует в традиционном, изученном нами смысле. Означает ли это, что полуокружность не имеет длины? Пока это только означает, что указанная параметризация полуокружности не удовлетворяет условиям непрерывности функций при которых была выписана формула (4), а значит, и формула (6). Поэтому нам следует либо подумать о расширении поятия интеграла, с тем чтобы интеграл в (7) получил определенный смысл, либо перейти к параметризации, удовлетворяющей условиям применимости формулы (6).

Заметим, что если взятую параметризацию рассматривать на любом отрезке вида , где то на нем формула (6) применима и по ней находим длину

дуги окружности, лежащей над отрезком

Естественно поэтому считать, что длина полуокружности есть предел таком же смысле можно понимать и интеграл в соотношении (7). Этим естественно возникающим расширением понятия интеграла Римана мы подробнее займемся в следующем параграфе.

Что же касается рассматриваемого конкретного вопроса, то, даже не меняя параметризацию, можно найти, например, длину дуги единичной окружности, опирающейся на хорду, конгруэнтную радиусу окружности.

Тогда (уже из геометрических соображений) должно быть Заметим также, что

поэтому

Таким образом,

Длина полуокружности единичного радиуса обозначается символом , и мы приходим к следующей формуле:

Последний интеграл есть обычный (а не обобщенный) интеграл Римана, и его можно вычислить с любой точностью.

Если для величину назвать то в силу проведенных выше выкладок

или

Если считать длину дуги первичным понятием, то первичными надо считать функцию введенную только что, и функцию которую можно ввести аналогично, а функции их тогда можно получить как им обратные на соответствующих отрезках. В. сущности, именно это и делается в элементарной геометрии.

Пример с длиной полуокружности поучителен не только тем, что, разбирая его, мы сделали, быть может, небесполезное для кого-то замечание об определении тригонометрических функций, но еще и тем, что он естественно порождает вопрос о том, не зависит ли вообще определенное формулой (3) число от выбора системы координат и параметризации кривой, когда речь идет о длине кривой.

Оставляя читателю анализ роли пространственных декартовых координат, рассмотрим здесь роль параметризации.

Уточним, что под параметризацией некоторой кривой в мы подразумеваем задание простого пути носителем которого является данная кривая. Точку или число называют параметром, а промежуток I — областью изменения параметра.

Если — два взаимно однозначных отображения с одним и тем же множеством значений , то естественно возникают взаимно однозначные отображения между областями определения и I этих отображений.

В частности, если имеются две параметризации одной кривой, то между самими параметрами устанавливается естественное соответствие или позволяющее по параметру точки в одной параметризации определять ее же параметр в другой параметризации.

Пусть — две параметризации одной кривой с соответствием начала и конца. Тогда функции перехода от одного параметра к другому будут непрерывными, строго монотонными отображениями отрезков а друг на друга с соответствием начал и концов

Если кривые при этом задавались такими тройками гладких функций, что на на то можно проверить, что в

этом случае функции перехода будут гладкими функциями, имеющими положительную производную на отрезке своего определения.

Мы не станем сейчас заниматься проверкой этого утверждения, оно будет в свое время получено как одно из следствий важной теоремы о неявной функции. В данный же момент высказанное утверждение служит скорее мотивировкой следующего определения.

Определение 9. Говорят, что путь получен из пути допустимым изменением параметризации, если существует такое гладкое отображение что

Проверим теперь следующее общее

Утверждение 2. Если гладкий путь получен из гладкого пути допустимым изменением параметризации, то длины этих путей совпадают.

Пусть задаются соответственно тройками гладких функций, — допустимое изменение параметризации, при котором

Используя определение (3) длины пути, правило дифференцирования композиции функций и правило замены переменной в интеграле, имеем

Итак, в частности, показано, что длина кривой не зависит от ее гладкой параметризации.

Длину кусочно гладкого пути определяют как сумму длин гладких путей, на которые он подразделяется; поэтому легко проверить, что и длина кусочно гладкого пути не меняется при допустимом изменении его параметризации.

Заканчивая обсуждение понятия длины пути и длины кривой (о которой мы после утверждения 2 теперь вправе говорить), рассмотрим еще один

Пример 4. Найдем длину эллипса, задаваемого каноническим уравнением

Взяв параметризацию получаем

где — квадрат эксцентриситета эллипса.

Интеграл

не выражается в элементарных функциях и ввиду указанной связи с эллипсом называется эллиптическим. Точнее, — эллиптический интеграл второго рода в форме Лежандра. Значение, которое он принимает при зависит только от , обозначается через и называется полным эллиптическим интегралом второго рода. Итак, поэтому длина эллипса в этих обозначениях имеет вид