4. Роль системы координат.

Аналитическое определение 4 касательной может вызвать некоторую не вполне осознанную неудовлетворенность. Мы постараемся сформулировать, что именно может составить предмет этой неудовлетворенности. Однако прежде укажем одну более геометрическую конструкцию касательной к кривой в некоторой ее точке (см. рис. 15).

Возьмем произвольную точку Р кривой, отличную от Прямая, определяемая парой точек , как уже отмечалось, называется секущей по отношению к кривой. Заставим теперь точку Р вдоль кривой стремиться к точке Если при этом секущая будет стремиться к некоторому предельному положению, то это предельное положение секущей и есть касательная к кривой в точке

Такое определение касательной при всей его наглядности в данный момент для нас неприемлемо потому, что мы не знаем, что такое кривая, что значит «точка стремится к другой точке вдоль кривой» и, наконец, в каком смысле надо понимать «предельное положение секущей».

Вместо того чтобы уточнять сейчас все эти понятия, мы отметим основную разницу между двумя рассмотренными определениями касательной. Второе было чисто геометрическим, не связанным (во всяком случае, до уточнений) с какой бы то ни было системой координат. В первом же случае мы определили касательную к кривой, являющейся в некоторой системе координат графиком дифференцируемой функции. Естественно может возникнуть вопрос, не получится ли так, что если эту кривую записать в другой системе координат, то, например, соответствующая функция перестанет быть дифференцируемой или будет дифференцируемой, но в результате новых вычислений мы получим другую прямую в качестве касательной.

Этот вопрос об инвариантности, т. е. независимости от системы координат, всегда возникает, когда понятие вводится с помощью некоторой системы координат.

В равной степени этот вопрос относится и к понятию скорости, которое мы обсуждали в пункте 1 и которое, кстати, как это уже отмечалось, включает в себя понятие касательной.

Точка, вектор, прямая и т. д. имеют в разных системах координат разные численные характеристики (координаты точки, координаты вектора, уравнение прямой). Однако, зная формулы, связывающие две системы координат, всегда можно по двум однотипным числовым представлениям выяснить, являются ли они записью в разных системах координат одного и того же геометрического объекта или нет. Интуиция подсказывает нам, что процедура определения скорости, описанная в пункте 1, приводит к одному и тому же вектору независимо от системы координат, в которой проводились вычисления. В свое время, при изучении функций многих переменных, мы подробно обсудим подобного рода вопросы. Инвариантность определения скорости относительно различных систем координат будет проверена уже в следующем параграфе.

Прежде чем переходить к рассмотрению конкретных примеров, подведем некоторые итоги.

Мы столкнулись с задачей математического описания мгновенной скорости движущегося тела.

Эта задача привела к задаче аппроксимации заданной функции в окрестности исследуемой точки линейной функцией, что в геометрическом плане

привело к понятию касательной. Функции, описывающие движение реальной механической системы, предполагаются допускающими такую линейную аппроксимацию.

Тем самым среди всех функций естественно выделился класс дифференцируемых функций.

Было введено понятие дифференциала функции в точке как линейного отображения, определенного на смещениях от рассматриваемой точки, которое с точностью до величины бесконечно малой по сравнению с величиной смещения описывает поведение приращения дифференцируемой функции в окрестности рассматриваемой точки.

Дифференциал вполне определяется числом — производной функции в точке которое может быть найдено предельным переходом

Физический смысл производной — скорость изменения величины в момент геометрический смысл производной — угловой коэффициент касательной к графику функции в точке