§ 3. Интеграл и производная

1. Интеграл и первообразная.

Пусть — интегрируемая по Риману на отрезке функция. Рассмотрим на этом же отрезке функцию

часто называемую интегралом с переменным верхним пределом.

Поскольку то если поэтому функция корректно определена для

Если на как интегрируемая функция, ограничена на то из аддитивности интеграла и простейшей оценки интеграла следует, что

если

Об этом мы, кстати, уже говорили, доказывая лемму 3 предыдущего параграфа.

Из неравенства (2), в частности, следует непрерывность функции на Итак,

Теперь мы исследуем функцию более тщательно.

Имеет место следующая основная для всего дальнейшего

Лемма 1. Если и функция непрерывна в некоторой точке то функция определяемая на формулой (1), дифференцируема в этой точке х, причем имеет место равенство

Пусть Оценим разность Из непрерывности в точке х следует, что где при . Функция интегрируема на как разность интегрируемой функции и постоянной если х — фиксированная точка. Обозначим через величину где отрезок с концами По условию, при .

Теперь запишем

где положено

Поскольку

то и потому когда (но так, что

Таким образом, показано, что если функция непрерывна в точке то при смещениях от точки х таких, что имеет место равенство

где

Но это и означает, что функция дифференцируема на в точке и что

Важнейшим непосредственным следствием леммы 1 является следующая

Теорема 1. Каждая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную, причем любая первообразная функции на имеет вид

где с — некоторая постоянная.

поэтому на основании леммы 1 функция (1) является первообразной для на Но две первообразные одной и той же функции на отрезке могут отличаться на этом отрезке только на постоянную, поэтому с.

Для дальнейших приложений удобно несколько расширить понятие первообразной и принять

Определение 1. Непрерывная на числовом промежутке функция называется первообразной (обобщенной первообразной) функции определенной на том же промежутке, если во всех точках промежутка, за исключением, быть может, конечного их числа, имеет место соотношение

Учитывая это определение, можно утверждать, что справедлива следующая

Теорема 1. Каждая определенная и ограниченная на отрезке функция с конечным множеством точек разрыва имеет на этом отрезке (обобщенную) первообразную, причем любая первообразная функции на имеет вид (4).

Поскольку имеет конечное множество точек разрыва, то и по лемме 1 функция (1) является обобщенной первообразной для на При этом мы учли, что, как уже отмечалось, в силу (2) функция (1) непрерывна на Если другая первообразная функции на то непрерывная функция, постоянная на каждом из конечного числа промежутков, на которые точки разрыва функции разбивают отрезок Из непрерывности на тогда следует, что на