2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных

Теорема 2. Пусть — функция, определенная в окрестности точки

Если функция имеет в каждой точке окрестности все частные производные непрерывности в точке х следует дифференцируемость функции в этой точке.

Без ограничения общности будем считать, что является шаром . Тогда вместе с точками области должны принадлежать также точки и соединяющие их отрезки. Воспользуемся этим, применяя в следующей выкладке теорему Лагранжа для функций одной переменной:

Пока мы воспользовались лишь наличием у функции в области частных производных по каждой из переменных.

Теперь воспользуемся их непрерывностью в точке х. Продолжая предыдущую выкладку, получаем, что

где величины в силу непрерывности частных производных в точке х стремятся к нулю при

Но это означает, что

Из теоремы 2 следует, что если частные производные функции непрерывны в области Если то функция дифференцируема в любой точке этой области.

Условимся в дальнейшем через или, проще, через обозначать множество функций, имеющих в области непрерывные частные производные.

3. Частные производные высшего порядка. Если функция , определенная в некоторой области Если имеет частную производную по одной из переменных то эта частная производная вновь является некоторой функцией , которая в свою очередь может иметь частную производную по некоторой переменной

Функция называется второй производной от функции по переменным и обозначается одним из символов

Порядок индексов указывает, в каком порядке производится дифференцирование по соответствующим переменным.

Мы определили частные производные второго порядка.

Если определена частная производная

порядка то по индукции определяем частную производную порядка к соотношением

Здесь возникает специфический для случая функций многих переменных вопрос о том, влияет ли порядок дифференцирований на вычисляемую частную производную.

Теорема 3. Если функция имеет в области частные производные

то в любой точке в которой обе эти производные непрерывны, их значения совпадают.

Пусть — точка, в которой обе функции непрерывны. Дальнейшие рассмотрения будем проводить в некотором шаре являющемся выпуклой окрестностью точки Мы хотим проверить, что

Поскольку во всех дальнейших выкладках меняться будут только переменные то мы для сокращения записи предположим, что есть функция

двух переменных и нам надо проверить, что

если в точке обе указанные функции непрерывны.

Рассмотрим вспомогательную функцию

где смещение предполагается достаточно малым, а именно таким, что

Если рассмотреть как разность

где то по теореме Лагранжа найдем, что

Применяя к последней разности вновь теорему Лагранжа, найдем, что

Если теперь представить в виде разности

где то аналогично найдем, что

Сравнивая равенства (2) и (3), заключаем, что

где Воспользовавшись непрерывностью рассматриваемых частных производных в точке при из (4) получаем нужное равенство

Заметим, что без каких-либо дополнительных предположений, вообще говоря, нельзя утверждать, что справедливо равенство если обе указанные частные производные определены в точке (см. задачу 2 в конце параграфа).

Договоримся в дальнейшем через или обозначать множество функций , все частные производные которых до порядка к включительно определены и непрерывны в области Если

В качестве следствия теоремы 3 получаем

Утверждение 1. Если то значение частной производной не зависит от порядка дифференцирования, т. е. остается тем же при любой перестановке индексов

В случае это утверждение содержится в теореме 3.

Предположим, что утверждение справедливо до порядка включительно. Покажем, что тогда оно справедливо и для порядка

Но Индексы по предположению индукции можно переставлять, не меняя функции следовательно, и функции Поэтому достаточно проверить, что можно переставлять также, например, индексы не меняя значения производной

Поскольку

то возможность этой перестановки непосредственно вытекает из теоремы 3. В силу принципа индукции утверждение 1 доказано.

Пример 1. Пусть — функция класса Пусть таково, что отрезок содержится в области Покажем, что функция

определенная на отрезке [0,1], принадлежит классу и найдем ее производную по порядка к.

Имеем

Эти соотношения можно записать в форме действия оператора на функцию:

По индукции получаем

(справа имеется в виду суммирование по всевозможным наборам из А; индексов, каждый из которых принимает значения 1 или 2).

Пример 2. Если то, в предположении, что Если для функции определенной на отрезке [0,1], получаем

где справа имеется в виду суммирование по всевозможным наборам индексов каждый из которых может принимать любое значение от 1 до включительно.

Формулу (5) можно записать также в виде