4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших.

Здесь мы покажем, как, используя теорему об обратной функции, можно локально представить диффеоморфное отображение в виде композиции таких диффеоморфизмов, каждый из которых меняет только одну из координат.

Определение 3. Диффеоморфизм открытого множества Если будем называть простейшим, если его координатное представление имеет вид

т. е. при диффеоморфизме меняется только одна из координат отображаемой точки.

Утверждение 2. Если — диффеоморфизм открытого множества Если то для любой точки найдется такая ее окрестность, которой справедливо представление где — простейшие диффеоморфизмы.

Проверим это по индукции.

Если исходное отображение само является простейшим, то для него утверждение тривиально справедливо.

Предположим, что утверждение справедливо для диффеоморфизмов, меняющих не более чем координату, где

Рассмотрим теперь диффеоморфизм меняющий к координат:

Мы приняли, что меняются именно первые к координат, чего можно достичь линейными преобразованиями. Значит, это не умаляет общности рассуждений.

Поскольку — диффеоморфизм, то его матрица Якоби в любой точке невырожденная, ибо

Фиксируем и вычислим определитель матрицы

Таким образом, один из миноров порядка последнего определителя должен быть отличен от нуля. Опять для упрощения записи будем считать, что таким является главный минор порядка . Рассмотрим тогда вспомогательное отображение определяемое равенствами

Поскольку якобиан

отображения в точке отличен от нуля, отображение является диффеоморфизмом в некоторой окрестности точки

Тогда в некоторой окрестности точки определено обратное к отображение которое позволяет ввести в окрестности новые координаты

Пусть Иными словами, отображение есть наше отображение записанное в координатах и. Отображение , как композиция диффеоморфизмов, является диффеоморфизмом некоторой окрестности точки Его координатная запись, очевидно, имеет вид

— простейший диффеоморфизм.

Но по предположению индукции отображение определенное формулами (17), раскладывается в композицию простейших диффеоморфизмов. Таким образом, диффеоморфизм меняющий к координат, в некоторой окрестности точки тоже раскладывается в композицию простейших диффеоморфизмов, что и завершает индукцию.