2. Исследование сходимости несобственного интеграла

а. Критерий Коши.

В силу определения 3, сходимость несобственного интеграла (3) равносильна существованию предела функции

при

Поэтому справедливо следующее

Утверждение 2 (критерий Коши сходимости несобственного интеграла). Если функция определена на промежутке и ингтегрируема на любом отрезке то интеграл сходится тогда и только тогда, когда для любого можно указать

так, что при любых таких, что имеет место соотношение

Действительно, ведь

поэтому выписанное условие есть просто критерий Копта существования предела функции при

b. Абсолютная сходимость несобственного интеграла

Определение 4. Про несобственный интеграл говорят, что он сходится абсолютно, если сходится интеграл

В силу неравенства

и утверждения 2 можем заключить, что если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Исследование абсолютной сходимости сводится к исследованию сходимости интеграла от неотрицательной функции. Но в этом случае имеем

Утверждение 3. Если функция удовлетворяет условиям определения 3 и на то несобственный интеграл (3) существует в том и только в том случае, когда функция (6) ограничена на

Действительно, если на то функция (6) неубывающая на и потому она имеет предел при если и только если она ограничена.

В качестве примера использования этого утверждения рассмотрим такое его

Следствие (интегральный признак сходимости ряда). Если — определенная на промежутке неотрицательная, невозрастающая, интегрируемая на каждом отрезке [1,6] С функция, то ряд

и интеграл

сходятся или расходятся одновременно.

Из приведенных условий вытекает, что при любом выполнены неравенства

После суммирования этих неравенств получаем

или

к где Поскольку — неубывающие функции своих аргументов, то полученные неравенства и доказывают высказанное утверждение.

В частности, теперь можно сказать, что результат примера 1 эквивалентен тому, что ряд

сходится только при

Наиболее часто используемым следствием утверждения 3 является следующая

Теорема (теорема сравнения). Пусть функции определены на промежутке интегрируемы на любом отрезке Если на

то из сходимости интеграла (5) следует сходимость интеграла (4) и справедливо неравенство

а из расходимости интеграла (4) следует расходимость интеграла (5).

Из условий теоремы и неравенств для собственного интеграла Римана при любом имеем

Поскольку обе функции неубывающие на то теорема следует из написанного неравенства и утверждения 3.

Замечание 3. Если про функции участвующие в теореме, вместо неравенств известно, что они неотрицательны на и одного порядка при т. е. что найдутся такие положительные константы что

то с учетом линейности несобственного интеграла из доказанной теоремы в этом случае можно заключить, что интегралы (4), (5) сходятся или расходятся одновременно.

Пример 4. Интеграл

сходится, так как

при

Пример 5. Интеграл

сходится абсолютно, ибо

при Следовательно,

Пример 6. Интеграл

(кликните для просмотра скана)

Пример 11. Интеграл

при сходится, поскольку при

Соотношение (7) выражает зависимость периода колебаний математического маятника от его длины и начального угла его отклонения, отсчитываемого от радиуса, идущего в нижнюю точку траектории качания. Формула (7) является элементарной вариацией формулы (17) предыдущего параграфа.

Маятник можно себе представлять, например, как невесомый стержень, один конец которого шарнирно закреплен, а другой, с присоединенной к нему точечной массой, свободен.

В таком случае можно говорить о любых начальных углах . При маятник качаться вообще не будет, находясь в первом случае в состоянии устойчивого, а во втором случае в состоянии неустойчивого равновесия.

Интересно отметить, что из (7) и (8) нетрудно получить, что при т. е. период колебаний маятника неограниченно растет по мере приближения его начального положения к верхнему положению (неустойчивого) равновесия.

с. Условная сходимость несобственного интеграла

Определение 5. Если несобственный интеграл сходится, но не абсолютно, то говорят, что он сходится условно.

Пример 12. Используя замечание 1, по формуле интегрирования по частям в несобственном интеграле находим, что

коль скоро последний интеграл сходится. Но, как мы видели в примере 5, этот интеграл сходится, поэтому сходится также интеграл

Вместе с тем интеграл (9) не является абсолютно сходящимся. Действительно, при имеем

Интеграл

как можно проверить интегрированием по частям, является сходящимся, поэтому при разность в правой части соотношения (10) стремится к и в силу оценки (10) интеграл (9) не является абсолютно сходящимся.

Приведем теперь один специальный признак сходимости несобственных интегралов, опирающийся на вторую теорему о среднем и, значит, в сущности на ту же формулу интегрирования по частям.

Утверждение 4 (признак Абеля—Дирихле сходимости интеграла). Пусть — функции, определенные на промежутке и интегрируемые на любом отрезке Пусть — монотонная функция.

Тогда для сходимости несобственного интеграла

достаточно, чтобы выполнялась либо пара условий:

интеграл сходится,

функция ограничена на либо пара условий:

функция ограничена на

функция стремится к нулю при

Для любых по второй теореме о среднем имеем

где точка, лежащая между и Отсюда в силу критерия Коши (утверждение 2) заключаем, что интеграл (11) действительно сходится, если выполнена любая из двух указанных выше пар условий.