§ 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления

1. Условия монотонности функции

Утверждение 1. Между характером монотонности дифференцируемой на интервале функции и знаком (положительностью) ее производной на этом интервале имеется следующая взаимосвязь:

Левый столбец следствий нам уже знаком по обсуждению теоремы Лагранжа, в силу которой где — точка между и . Из этой формулы видно, что при положительность разности совпадает с положительностью

Правый столбец следствий получается непосредственно из определения производной. Покажем, например, что если дифференцируемая на функция возрастает, то на Действительно,

Если то если то поэтому дробь под знаком предела положительна.

Следовательно, ее предел неотрицателен, что и утверждалось.

Замечание 1. На примере функции видно, что возрастание дифференцируемой функции влечет только неотрицательность производной, а не ее положительность. В нашем примере

Замечание 2. В символе , как мы уже в свое время отмечали, А — условие, достаточное для условие, необходимое для того, чтобы было выполнено А. Значит, из утверждения 1, в частности, можно сделать следующие выводы:

функция постоянна на интервале тогда и только тогда, когда ее производная тождественно равна нулю на этом интервале;

для того чтобы дифференцируемая на интервале функция убывала на нем, достаточно, чтобы ее производная была отрицательна в любой точке этого интервала;

для того чтобы дифференцируемая на интервале функция убывала на нем, необходимо, чтобы ее производная была неположительна на этом интервале.

Пример 1. Пусть . Тогда и, поскольку при при можем сказать, что на интервале функция возрастает, на интервале убывает, а на интервале вновь возрастает.