2. Свойства предела последовательности

a. Общие свойства. Мы выделим в эту группу те свойства, которыми обладают, как будет видно из дальнейшего, не только числовые последовательности, хотя здесь мы эти свойства будем рассматривать только для числовых последовательностей.

Последовательность, принимающую только одно значение, будем называть постоянной.

Определение 4. Если существуют число А и номер такие, что при любом то последовательность будем называть финально постоянной.

Определение 5. Последовательность называется ограниченной, если существует число М такое, что при любом

Теорема 1. а) Финально постоянная последовательность сходится.

b) Любая окрестность предела последовательности содержит все члены последовательности, за исключением конечного их числа.

c) Последовательность не может иметь двух различных пределов.

d) Сходящаяся последовательность ограничена.

Если при то для любой окрестности точки А имеем при

b) Утверждение непосредственно следует из определения предела последовательности.

c) Это важнейший пункт теоремы. Пусть

Если , то фиксируем непересекающиеся окрестности точек

В качестве таковых можно взять, например, -окрестности этих точек при По определению предела найдем числа так, что

Тогда при получим Но это невозможно, поскольку

Пусть . Полагая в определении предела найдем номер такой, что Значит, при имеем . Если теперь взять то получим, что

b. Предельный переход и арифметические операции

Определение 6. Если — две числовые последовательности, то их суммой, произведением и частным (в соответствии с общим определением суммы, произведения и частного функций) называются соответственно последовательности

Частное, разумеется, определено лишь при

Теорема 2. Пусть — числовые последовательности. Если то:

В качестве упражнения воспользуемся уже известными нам (см. гл. II, § 2, п. 4) оценками абсолютных погрешностей, возникающих при арифметических операциях с приближенными значениями величин.

Положим Тогда для случая а) имеем

Пусть задано число Поскольку найдется номер такой, что Аналогично, поскольку найдется номер такой, что Тогда при будем иметь

что в соответствии с определением предела доказывает утверждение а).

b) Мы знаем, что

По заданному найдем числа такие, что

Тогда при будем иметь

(кликните для просмотра скана)

и, следовательно,

Замечание. Формулировка теоремы допускает и другой, менее конструктивный путь доказательства, вероятно, известный читателю по школьному курсу начал анализа. Мы напомним его, когда будем говорить о пределе произвольных функций. Но здесь, рассматривая предел последовательности, нам хотелось обратить внимание на то, как именно по ограничениям на погрешность результата арифметической операции ищутся допустимые погрешности значений величин, над которыми эта операция производится.

с. Предельный переход и неравенства

Теорема 3. а) Пусть две сходящиеся последовательности, причем Если то найдется номер такой, что при любом выполнено неравенство

Пусть последовательности таковы, что при любом имеет место соотношение Если при этом последовательности сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность также сходится и к этому же пределу.

а) Возьмем число С такое, что По определению предела найдем числа так, чтобы при любом иметь и при любом иметь Тогда при получим

Пусть По найдем числа так, чтобы при любом иметь и при любом иметь . Тогда при получим или

Следствие. Пусть

Если существует номер такой, что при любом

Рассуждая от противного, из пункта а) теоремы немедленно получаем первые два утверждения. Третье и четвертое утверждения суть частные случаи первых двух, получающиеся при

Стоит заметить, что строгое неравенство в пределе может перейти в равенство. Например, при любом но