3. Принцип Архимеда.

Переходим к важному как в теоретическом отношении, так и в плане конкретного использования чисел при измерениях и вычислениях принципу Архимеда. Мы докажем его, опираясь на аксиому полноты (точнее, на эквивалентную ей лемму о верхней грани). При другой аксиоматике множества действительных чисел этот фундаментальный принцип часто включают в список аксиом.

Заметим, что утверждения, которые мы до сих пор доказывали о натуральных и целых числах, совершенно не использовали аксиому полноты. Как будет видно из дальнейшего, принцип Архимеда, в сущности, отражает свойства натуральных и целых чисел, связанные с аксиомой полноты. С этих свойств мы и начнем.

1° В любом непустом ограниченном сверху подмножестве множества натуральных чисел имеется максимальный элемент.

Если рассматриваемое множество, то по лемме о верхней грани . По определению верхней грани, в Е найдется натуральное число , удовлетворяющее условию Тогда поскольку все натуральные числа, которые больше не меньше

Следствия. 2° Множество натуральных чисел не ограничено сверху.

В противном случае существовало бы максимальное натуральное число. Но

В любом непустом ограниченном сверху подмножестве множества целых чисел имеется максимальный элемент.

Можно дословно повторить доказательство утверждения 1°, заменяя на

В любом непустом ограниченном снизу подмножестве множества целых чисел имеется минимальный элемент.

Можно, например, повторить доказательство утверждения 1°, заменяя на и используя вместо леммы о верхней грани лемму о существовании нижней грани у ограниченного снизу числового множества.

Можно также перейти к противоположным числам («поменять знаки») и воспользоваться уже доказанным в 3°.

Множество целых чисел не ограничено ни сверху, ни снизу.

Вытекает из 3° и 4° или прямо из 2°.

Теперь сформулируем

6° Принцип Архимеда. Если фиксировать произвольное положительное число то для любого действительного числа х найдется и притом единственное целое число к такое, что

Поскольку не ограничено сверху, множество — непустое ограниченное снизу подмножество множества целых чисел. Тогда (см. 4°) в нем есть минимальный элемент к, т. е. Поскольку эти неравенства эквивалентны приведенным в формулировке принципа Архимеда. Единственность к удовлетворяющего двум последним неравенствам, следует из единственности минимального элемента числового множества (см. § 1, п. 3).

Некоторые следствия:

7° Для любого положительного числа существует натуральное число такое, что

По принципу Архимеда найдется такое, что Поскольку имеем Таким образом,

Если число таково, что и для любого выполнено

Соотношение невозможно в силу утверждения 7°.

Для любых чисел таких, что найдется рациональное число такое, что

Учитывая 7°, подберем так, что По принципу Архимеда найдем такое число что Тогда ибо в противном случае мы имели бы откуда следовало бы, что Таким образом,

Для любого числа существует и притом единственное целое число такое, что

Это непосредственно вытекает из принципа Архимеда.

Указанное число к обозначается и называется целой частью числа х. Величина называется дробной частью числа х. Итак, причем