§ 5. Несобственный интеграл

В предыдущем параграфе мы уже столкнулись с необходимостью несколько расширить понятие интеграла Римана. Там же на разборе конкретной задачи мы составили себе представление о том, в каком направлении и как это следует сделать. Настоящий параграф посвящен реализации этих представлений.

1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов

Определение 1. Пусть функция определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке содержащемся в этом промежутке.

Величина

если указанный предел существует, называется несобственным интегралом Римана или просто несобственным интегралом от функции по промежутку

Сам символ также называют несобственным интегралом и тогда говорят, что несобственный интеграл сходится, если указанный предел

существует, и расходится в противном случае. Таким образом, вопрос о сходимости несобственного интеграла равносилен вопросу о том, определен ли вообще этот несобственный интеграл или нет.

Пример 1. Исследуем, при каких значениях параметра а сходится или, что то же самое, определен несобственный интеграл

Поскольку

то предел

существует только при

Итак,

а при других значениях параметра а интеграл (1) расходится, т. е. не определен.

Определение 2. Пусть функция определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке Величина

если указанный предел существует, называется несобственным интегралом от функции по промежутку

Суть этого определения состоит в том, что в любой окрестности конечной точки В функция может оказаться неограниченной.

Аналогично, если функция определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке то по определению полагают

и также по определению полагают

Пример 2. Исследуем, при каких значениях параметра а сходится интеграл

Поскольку при а

то предел

существует только при

Итак, интеграл (2) определен только при

Пример 3.

Поскольку вопрос о сходимости несобственного интеграла решается одинаково как для несобственного интеграла по неограниченному промежутку, так и для несобственного интеграла от функции, неограниченной около одного из концов промежутка интегрирования, то в дальнейшем мы будем рассматривать оба эти случая вместе, введя следующее основное

Определение 3. Пусть — конечный или бесконечный промежуток, а а; и - функция, определенная на нем и интегрируемая на каждом отрезке Тогда по определению

если указанный предел при существует.

В дальнейшем, если не оговорено противное, рассматривая несобственный интеграл (3), мы будем предполагать, что подынтегральная функция удовлетворяет условиям определения 3.

Кроме того, для определенности мы будем пока считать, что несобственность интеграла связана только с верхним пределом интегрирования. Рассмотрение случая, когда особенность интеграла связана с нижним пределом, проводится дословно так же.

Из определения 3, свойств интеграла и свойств предела можно сделать следующее заключение о свойствах несобственного интеграла.

Утверждение 1. Пусть — функции, определенные на промежутке и интегрируемые на любом отрезке Пусть для них определены несобственные интегралы

Тогда

a) Если и , то значения интеграла (4), понимаемого как в несобственном, так и в собственном смысле, совпадают.

b) При любых функция интегрируема в несобственном смысле на и справедливо равенство

c) Если , то

d) Если — гладкое, строго монотонное отображение, причем при то несобственный интеграл от функции на существует и справедливо равенство

а) Следует из непрерывности функции

на отрезке на котором

b) Следует из того, что при

c) Следует из равенства

справедливого при любых

Следует из формулы

замены переменной в определенном интеграле.

Замечание 1. К свойствам несобственного интеграла, выраженным в утверждении 1, следует еще добавить весьма полезное правило интегрирования по частям в несобственном интеграле, которое мы приведем в следующей формулировке:

Если и существует предел то функции одновременно интегрируемы или не в несобственном смысле на и в случае интегрируемости справедливо равенство

где

Это следует из формулы

интегрирования по частям в собственном интеграле.

Замечание 2. Из пункта с) утверждения 1 видно, что несобственные интегралы

сходятся или расходятся одновременно. Таким образом, в несобственных интегралах, как и в рядах, сходимость не зависит от начального куска ряда или интеграла.

По этой причине иногда, ставя вопрос о сходимости несобственного интеграла, вообще опускают тот предел интегрирования, около которого интеграл не имеет особенности.

При таком соглашении полученные в примерах 1, 2 результаты можно записать так:

Знак в последнем интеграле показывает, что рассматривается область

Заменой переменной из последнего интеграла сразу получаем, что интеграл сходится только при