3. Дифференцирование обратного отображения
Теорема 4. Пусть 
— отображение окрестности 
точки х на окрестность 
точки 
Пусть 
непрерывно в точке х и имеет обратное отображение 
непрерывное в точке у.
Если при этом отображение 
дифференцируемо в точке х и касательное к 
в точке х отображение 
имеет обратное отображение 
то отображение 
дифференцируемо в точке 
и справедливо равенство
Таким образом, взаимно обратные дифференцируемые отображения имеют в соответствующих точках взаимно обратные касательные отображения.
Положим
тогда
Будем предполагать, что 
столь мало, что 
значит, 
Из непрерывности 
в у следует, что
и
Из дифференцируемости 
в точке 
следует, что
т. е. можно утверждать даже, что 
при 
(см. соотношения (17), (18) из § 1).
Покажем, что если 
— обратимое линейное отображение, то и 
при 
.
В самом деле, из (3) последовательно получаем
где число 
выбрано так, что 
при 
Тогда с учетом соотношения (2) находим
что равносильно соотношению
Отсюда, в частности, следует, что
Учитывая это, из (2) и (4) получаем
или
Из алгебры известно, что если линейному преобразованию 
отвечает матрица А, то обратному к 
линейному преобразованию 
соответствует матрица 
обратная к матрице 
. Построение элементов обратной матрицы также известно из алгебры, следовательно, доказанная теорема дает прямой рецепт для построения отображения
Отметим, что при 
т. е. при 
якобиан отображения 
в точке 
сводится к одному числу 
— производной функции 
в точке 
линейное преобразование 
сводится к умножению на это число: 
Это линейное преобразование обратимо тогда и только тогда, когда 
причем матрица обратного преобразования 
также состоит из одного числа, равного 
т. е. обратного к 
Значит, теорема 4 содержит в себе также доказанное ранее правило отыскания производной обратной функции.
Задачи и упражнения
(см. скан)
