§ 5. Теорема о неявной функции

1. Постановка вопроса и наводящие соображения.

В этом параграфе будет доказана важная как сама по себе, так и благодаря ее многочисленным следствиям теорема о неявной функции.

Поясним сначала, в чем состоит вопрос. Пусть, например, мы имеем соотношение

между координатами точек плоскости Совокупность точек плоскости удовлетворяющих этому соотношению, есть единичная окружность (рис. 56).

Наличие связи (1) показывает, что, фиксировав одну из координат, например мы не вправе брать вторую координату произвольно. Таким образом, соотношение (1) предопределяет зависимость у от Нас интересует вопрос об условиях, при которых неявная связь (1) может быть разрешена в виде явной функциональной зависимости

Решая уравнение (1) относительно у, найдем, что

т. е. каждому значению такому, что на самом деле отвечают два допустимых значения у. При формировании функциональной зависимости удовлетворяющей соотношению (1), нельзя без привлечения дополнительных требований отдать предпочтение какому-нибудь одному из значений (2). Например, функция которая в рациональных точках отрезка принимает значение в иррациональных — значение очевидно, удовлетворяет соотношению (1).

Рис. 56

Ясно, что вариацией этого примера можно предъявить бесконечно много функциональных зависимостей, удовлетворяющих соотношению (1).

Вопрос о том, является ли множество, задаваемое в соотношением (1), графиком некоторой функциональной зависимости очевидно, решается отрицательно, ибо с геометрической точки зрения он равносилен вопросу о возможности взаимно однозначного прямого проектирования окружности на некоторую прямую.

Но наблюдение (см. рис. 56) подсказывает, что все-таки в окрестности отдельной точки дуга окружности взаимно однозначно проектируется на ось и ее единственным образом можно представить в виде где — непрерывная функция, определенная в окрестности точки и принимающая в значение . В этом отношении плохими являются только точки ибо никакая содержащая их внутри себя дуга окружности не проектируется взаимно однозначно на ось Зато окрестности этих точек на окружности хорошо расположены относительно оси у и могут быть представлены в виде графика функции , непрерывной в окрестности точки 0 и принимающей в этой точке значение —1 или 1 в соответствии с тем, идет ли речь о дуге, содержащей точку или (1,0).

Как же аналитически узнавать, когда наше геометрическое место точек, определяемое соотношением типа (1), в окрестности некоторой точки принадлежащей ему, может быть представлено в виде явной зависимости или

Будем рассуждать следующим, уже привычным способом. У нас есть функция Локальное поведение функции в окрестности точки хорошо описывается ее дифференциалом

поскольку

при

Если и нас интересует поведение линии уровня

нашей функции в окрестности точки то о нем можно судить по расположению прямой (касательной)

Если эта прямая расположена так, что ее уравнение можно разрешить относительно у у то, коль скоро в окрестности точки линия мало уклоняется от этой прямой, можно надеяться, что ее в некоторой окрестности точки тоже можно будет записать в виде

То же самое, конечно, можно сказать о локальной разрешимости уравнения относительно х.

Записав уравнение (3) для рассматриваемого конкретного соотношения (1), получим следующее уравнение касательной:

Это уравнение разрешимо относительно у всегда, когда т. е. во всех точках окружности (1), кроме точек и (1,0). Оно разрешимо относительно х во всех точках окружности, кроме точек (0, —1) и (0,1).