разность при была бесконечно малой в сравнении уже с любой не нулевой постоянной, т. е.
Последнее соотношение равносильно тому, что Если, в частности, функция непрерывна в точке то и, естественно,
Попробуем теперь подобрать функцию со так, чтобы иметь
Очевидно, это — обобщение предыдущей задачи, поскольку формулу (17) можно переписать в виде
Из (18) при немедленно следует, что и если функция непрерывна в точке, то
Если со найдено, то из (18) следует, что
И вообще, если бы мы искали полином такой, что
то мы последовательно и вполне однозначно нашли бы
при условии, что все указанные пределы существуют; в противном случае условие (19) невыполнимо и задача решения не имеет.
Если функция непрерывна в точке то из (18), как уже отмечалось, следует, что и мы приходим к соотношению
равносильному условию дифференцируемости функции в точке
Отсюда находим
Таким образом, доказано
Утверждение 1. Функция непрерывная в точке , предельной для множества допускает линейное приближение (18) в том и только в том случае, когда она дифференцируема в этой точке.
Функция
при является единственной функцией вида (20), удовлетворяющей соотношению (18).
Итак, функция
доставляет наилучшее линейное приближение функции в окрестности точки в том смысле, что для любой другой функции вида при .
Графиком функции (21) является прямая
проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент
Поскольку прямая (22) доставляет наилучшее возможное линейное приближение графика функции в окрестности точки то естественно принять
Определение 4. Если функция определена на множестве и дифференцируема в точке , то прямая, задаваемая уравнением (22), называется касательной к графику этой функции в точке
Рисунок 15 иллюстрирует все основные понятия, связанные с дифференцируемостыо функции в точке, которые мы к настоящему моменту ввели: приращение аргумента и соответствующие ему приращение функции и значение дифференциала; на рисунке изображены график функции, касательная к графику в точке и, для сравнения, произвольная прямая (называемая обычно секущей), проходящая через и некоторую точку графика функции.
Развитием определения 4 является
Определение 5. Если отображения непрерывны в точке , предельной для множества при , то говорят, что имеют в точке касание порядка (или, точнее, порядка не ниже
При говорят, что отображения касаются друг друга в точке
В соответствии с определением 5 отображение (21) касается в точке отображения дифференцируемого в этой точке.