3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала.

Пусть — функция, определенная на множестве , и — фиксированная предельная точка множества Е. Мы хотим подобрать постоянную со так, чтобы она лучше всех остальных констант характеризовала поведение функции в окрестности точки Точнее, мы хотим, чтобы

разность при была бесконечно малой в сравнении уже с любой не нулевой постоянной, т. е.

Последнее соотношение равносильно тому, что Если, в частности, функция непрерывна в точке то и, естественно,

Попробуем теперь подобрать функцию со так, чтобы иметь

Очевидно, это — обобщение предыдущей задачи, поскольку формулу (17) можно переписать в виде

Из (18) при немедленно следует, что и если функция непрерывна в точке, то

Если со найдено, то из (18) следует, что

И вообще, если бы мы искали полином такой, что

то мы последовательно и вполне однозначно нашли бы

при условии, что все указанные пределы существуют; в противном случае условие (19) невыполнимо и задача решения не имеет.

Если функция непрерывна в точке то из (18), как уже отмечалось, следует, что и мы приходим к соотношению

равносильному условию дифференцируемости функции в точке

Отсюда находим

Таким образом, доказано

Утверждение 1. Функция непрерывная в точке , предельной для множества допускает линейное приближение (18) в том и только в том случае, когда она дифференцируема в этой точке.

Функция

при является единственной функцией вида (20), удовлетворяющей соотношению (18).

Итак, функция

доставляет наилучшее линейное приближение функции в окрестности точки в том смысле, что для любой другой функции вида при .

Графиком функции (21) является прямая

проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент

Поскольку прямая (22) доставляет наилучшее возможное линейное приближение графика функции в окрестности точки то естественно принять

Определение 4. Если функция определена на множестве и дифференцируема в точке , то прямая, задаваемая уравнением (22), называется касательной к графику этой функции в точке

Рисунок 15 иллюстрирует все основные понятия, связанные с дифференцируемостыо функции в точке, которые мы к настоящему моменту ввели: приращение аргумента и соответствующие ему приращение функции и значение дифференциала; на рисунке изображены график функции, касательная к графику в точке и, для сравнения, произвольная прямая (называемая обычно секущей), проходящая через и некоторую точку графика функции.

Развитием определения 4 является

Определение 5. Если отображения непрерывны в точке , предельной для множества при , то говорят, что имеют в точке касание порядка (или, точнее, порядка не ниже

При говорят, что отображения касаются друг друга в точке

В соответствии с определением 5 отображение (21) касается в точке отображения дифференцируемого в этой точке.

Теперь можно также сказать, что полином из соотношения (19) имеет с функцией касание не ниже чем порядка

Рис. 15

Число т. е. приращение аргумента, можно рассматривать как вектор, приложенный к точке и определяющий переход из Обозначим совокупность таких векторов через или Аналогично, обозначим через или совокупность векторов смещения от точки по оси у (см. рис. 15). Тогда из определения дифференциала видно, что отображение

задаваемое дифференциалом касается отображения

задаваемого приращением дифференцируемой функции.

Заметим (см. рис. 15), что если отображение (24) есть приращение ординаты графика функции при переходе аргумента из точки в точку то дифференциал (23) дает приращение ординаты касательной к графику функции при том же приращении аргумента.