§ 4. Некоторые приложения интеграла

Использование интеграла в приложениях часто происходит по одной и той же схеме, которую по этой причине полезно изложить один раз в чистом виде. Этому посвящен первый пункт настоящего параграфа.

1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл.

Обсуждая в § 2 свойство аддитивности интеграла, мы ввели понятие аддитивной функции ориентированного промежутка. Напомним, что это функция которая каждой упорядоченной паре точек фиксированного отрезка ставит в соответствие число причем так, что для любой тройки точек выполнено равенство

Из (1) при следует, что при получаем, что . В этом сказывается влияние порядка точек .

Полагая

в силу аддитивности функции имеем

Таким образом, каждая аддитивная функция ориентированного промежутка имеет вид

где — функция точки отрезка .

Легко проверить, что верно и обратное, т. е. что любая функция определенная на отрезке порождает по формуле (2) аддитивную функцию ориентированного промежутка.

Приведем два типичных примера.

Пример 1. Бели то функция порождает, в силу формулы (2), аддитивную функцию

Заметим, что в данном случае функция непрерывна на отрезке

Пример 2. Пусть отрезок [0,1] есть невесомая струна с бусинкой единичной массы, прикрепленной к струне в точке

Пусть есть масса, находящаяся на отрезке струны. Тогда по условию

Физический смысл аддитивной функции

при — масса, попавшая в полуинтервал

Поскольку функция Т разрывна, аддитивная функция в рассматриваемом случае не может быть представлена как интеграл Римана от некоторой функции — плотности массы. (Эта плотность, т. е. предел отношения массы промежутка к его длине, должна была бы равняться нулю в любой точке отрезка кроме точки где она должна была бы быть бесконечной.)

Теперь докажем полезное для дальнейшего достаточное условие того, что аддитивная функция порождается интегралом.

Утверждение 1. Пусть аддитивная функция определенная для точек отрезка такова, что существует функция связанная с I следующим образом: для любого отрезка такого, что а выполняется соотношение

Тогда

Пусть Р — произвольное разбиение отрезка

Для каждого отрезка разбиения Р имеем по условию

Суммируя эти неравенства и пользуясь аддитивностью функции получаем

Крайние члены в последнем соотношении суть знакомые нам нижняя и верхняя суммы Дарбу функции соответствующие разбиению Р отрезка При обе они имеют своим пределом интеграл от по отрезку Таким образом, переходя к пределу при , получаем, что

Продемонстрируем теперь утверждение 1 в работе.