3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества

Определение 2. Говорят, что множество ограничено сверху (снизу), если существует число такое, что с (соответственно, ) для любого .

Число с в этом случае называют верхней (соответственно, нижней) границей множества X или также мажорантой (минорантой) множества X.

Определение 3. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.

Определение 4. Элемент а называется наибольшим или максимальным (наименьшим или минимальным) элементом множества , если (соответственно, ) для любого элемента .

Введем обозначения и заодно приведем формальную запись определения максимального и минимального элементов соответственно:

Наряду с обозначениями (читается «максимум (читается «минимум в том же смысле используются соответственно символы

Из аксиомы 1 порядка сразу следует, что если в числовом множестве есть максимальный (минимальный) элемент, то он только один.

Однако не во всяком, даже ограниченном, множестве имеется максимальный (минимальный) элемент.

Например, множество имеет минимальный элемент, но, как легко проверить, не имеет максимального элемента.

Определение 5. Наименьшее из чисел, ограничивающих множество сверху, называется верхней гранью (или точной верхней границей) множества X и обозначается (читается «супремум или

Это основное определение настоящего пункта. Итак,

В первой скобке, стоящей справа от определяемого понятия, написано, что ограничивает X сверху; вторая скобка говорит, что — минимальное из чисел, обладающих этим свойством. Точнее, вторая скобка утверждает, что любое число, меньшее уже не является верхней границей X.

Аналогично вводится понятие нижней грани (точной нижней границы) множества X как наибольшей из нижних границ множества X.

Определение 6.

Наряду с обозначением (читается «инфимум для нижней грани X употребляется также обозначение

Таким образом, даны следующие определения:

Но выше мы говорили, что не всякое множество обладает минимальным или максимальным элементом, поэтому принятые определения верхней и нижней граней числового множества нуждаются в аргументации, которую доставляет следующая

Лемма (принцип верхней грани). Всякое непустое ограниченное сверху подмножество множества вещественных чисел имеет и притом единственную верхнюю грань.

Поскольку единственность минимального элемента числового множества нам уже известна, необходимо лишь убедиться в существовании верхней грани.

Пусть данное подмножество, — множество верхних границ X. По условию, Тогда в силу аксиомы полноты существует число такое, что Число с, таким образом, является мажорантой X и минорантой Как мажоранта X, число с является элементом У, но как миноранта У, число с является минимальным элементом множества У. Итак,

Конечно, аналогично доказывается существование и единственность нижней грани у ограниченного снизу числового множества, т. е. имеет место

Лемма. (X ограничено снизу)

На доказательстве мы не останавливаемся.

Теперь вернемся к множеству В силу доказанной леммы оно должно иметь верхнюю грань. По самому определению множества X и определению верхней грани очевидно, что

Для того чтобы доказать, что таким образом, необходимо проверить, что для любого числа найдется число такое, что т. е., попросту, что между и 1 есть еще числа. Это, конечно, легко доказать и независимо (например, показав, что но мы сейчас этого делать не станем, поскольку в следующем параграфе подобные вопросы будут обсуждаться последовательно и подробно.

Что же касается нижней грани, то она всегда совпадает с минимальным элементом множества, если множество таковым обладает. Так что уже из этого соображения в рассматриваемом примере имеем

Другие, более содержательные примеры использования введенных здесь понятий встретятся уже в следующем параграфе.