4. Теорема о неявной функции.

Теперь перейдем к общему случаю системы уравнений

которую мы будем решать относительно т. е. искать локально эквивалентную системе (11) систему функциональных связей

Для краткости, удобства письма и ясности формулировок условимся, что ; левую часть системы (11) будем записывать как систему (11) как отображение (12) как . Если

то запись или будет означать, что и, соответственно,

Далее положим

Заметим, что матрица квадратная и, следовательно, она обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. В случае она сводится к единственному элементу и в этом случае обратимость матрицы равносильна тому, что этот единственный ее элемент отличен от нуля. Матрицу, обратную к будем, как обычно, обозначать символом

Теперь сформулируем основной результат параграфа.

Теорема (о неявной функции). Если отображение определенное в окрестности точки таково, что

то существуют -мерный промежуток Если где

и такое отображение что для любой точки

причем

Доказательство теоремы будет опираться на утверждение 2 и простейшие свойства определителей. Разобьем его на отдельные этапы. Будем рассуждать методом индукции.

При теорема совпадает с утверждением 2 и потому верна.

Пусть теорема справедлива для размерности Покажем, что она тогда справедлива и для размерности

a) В силу условия 3°, определитель матрицы (15) отличен от нуля в точке значит, и в некоторой окрестности точки Следовательно, по крайней мере один элемент последней строки этой матрицы отличен от нуля. С точностью до перемены обозначений можно считать, что таким является элемент

b) Применяя тогда к соотношению

утверждение 2, найдем промежуток с и такую функцию что

c) Подставляя найденное выражение переменной в первые уравнений системы (11), получим соотношений

Видно, что причем

В силу определения функций ,

Положив еще

в силу (18) получаем, что в области своего определения поэтому

Учитывая соотношения (20), (21) и свойства определителей, можно заметить, что определитель матрицы (15) равен определителю матрицы

По предположению, определитель матрицы (15) по условию отличен от нуля. Следовательно, в некоторой окрестности точки отличен от нуля и определитель матрицы

Тогда по предположению индукции найдутся промежуток являющийся окрестностью точки и такое отображение что в пределах промежутка система (19) равносильна соотношениям

d) Так как то, подставляя из (22) вместо соответствующих переменных в функцию из соотношения (18), получаем зависимость

переменной от

e) Покажем теперь, что система равенств

задающая отображение где равносильна в пределах окрестности системе уравнений (11).

В самом деле, сначала мы в пределах заменили последнее уравнение исходной системы (11) эквивалентным ему, в силу (18), равенством От так полученной второй системы мы перешли к равносильной ей третьей системе, заменив в первых уравнениях переменную на Первые уравнений (19) третьей системы мы в пределах заменили равносильными им соотношениями (22). Тем самым получили четвертую систему, после чего перешли к равносильной ей в пределах окончательной системе (24), заменив в последнем уравнении четвертой системы переменные их выражениями (22) и получив в качестве последнего уравнения соотношение (23).

f) Для завершения доказательства теоремы остается проверить формулу (17).

Поскольку в окрестности точки системы (11) и (12) равносильны, то

В координатах это означает, что в области

Поскольку где то и, дифференцируя тождества (25), получаем

Соотношения (26), очевидно, равносильны одному матричному равенству

в котором

Учитывая обратимость матрицы в окрестности точки из этого равенства получаем, что

и теорема полностью доказана.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)