2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами.

Расстояние (4) между комплексными числами позволяет определить -окрестность числа как множество — это круг (без граничной окружности) радиуса с центром в точке если

Будем говорить, что последовательность комплексных чисел сходится к числу , если

Из неравенств

видно, что последовательность комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности действительных и мнимых частей членов этой последовательности.

По аналогии с последовательностями вещественных чисел последовательность комплексных чисел называют фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого найдется номер такой, что при выполнено

Из неравенств (11) видно, что последовательность комплексных чисел фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальны последовательности действительных и мнимых частей членов данной последовательности.

Учитывая критерий Коши для вещественных последовательностей, мы, таким образом, на основании неравенств (11) заключаем, что справедливо следующее

Утверждение 1 (критерий Коши). Последовательность комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Если сумму ряда

комплексных чисел понимать как предел его частичных сумм при то получаем также критерий Коши сходимости

Утверждение 2. Ряд (12) сходится тогда и только тогда, когда для любого найдется число такое, что при любых натуральных имеем

Отсюда, как, впрочем, и из самого определения сходимости ряда (12), видно, что для сходимости ряда необходимо, чтобы при

Как и в вещественном случае, ряд (12) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Из критерия Коши и неравенства

следует, что если ряд (12) сходится абсолютно, то он сходится.

Примеры. Ряды

сходятся абсолютно при любом , ибо ряды

как мы знаем, сходятся при любом значении . Заметим, что здесь мы воспользовались равенством

Пример 4. Ряд сходится абсолютно при и его сумма равна При он не сходится, так как в этом случае общий член ряда не стремится к нулю.

Ряды вида

называют степенными рядами.

Применяя признак Коши (см. гл. III, § 1, п. 4) к ряду

заключаем, что он сходится, если

и его общий член не стремится к нулю, если

Отсюда получаем следующее

Утверждение 3 (формула Коши-Адамара). Степенной ряд (15) сходится в круге с центром в точке радиус которого определяется по формуле Коши — Адамара

В любой точке, внешней по отношению к этому кругу, степенной ряд расходится.

В любой точке этого круга степенной ряд сходится абсолютно.

Замечание. По поводу сходимости на граничной окружности в утверждении 3 ничего не говорится, поскольку здесь возможны все логически допустимые варианты.

Примеры. Ряды

сходятся в единичном круге но ряд 5) расходится всюду при ряд 6) расходится при и, как можно показать, сходится при ряд 7) сходится абсолютно при так как

Следует иметь в виду не учтенный в формулировке утверждения 3, но возможный вырожденный случай, когда в формуле . В этом случае, разумеется, весь круг сходимости вырождается в единственную точку сходимости ряда (15).

Из утверждения 3, очевидно, вытекает

Следствие (первая теорема Абеля о степенных рядах). Если степенной ряд (15) сходится при некотором значении то он сходится и даже абсолютно при любом удовлетворяющем неравенству

Те утверждения, которые пока были получены, можно рассматривать как простое развитие уже известных нам фактов. Теперь докажем два общих утверждения о рядах, которые мы раньше не доказывали ни в каком виде, хотя частично обсуждали затрагиваемые в них вопросы.

Утверждение 4. Если ряд комплексных чисел сходится абсолютно, то ряд полученный перестановкой его членов, также абсолютно сходится и к той же сумме.

Учитывая сходимость ряда по числу найдем номер так, что

Далее найдем номер так, что среди слагаемых суммы при содержатся все слагаемые суммы

Если то мы получаем, что при

Таким образом, показано, что 5 5 при Если применить уже доказанное к рядам получим, что последний ряд сходится. Тем самым утверждение 4 доказано полностью.

Следующее утверждение будет относиться к произведению

рядов. Вопрос состоит в том, что если мы раскроем скобки и запишем всевозможные попарные произведения то в них нет естественного порядка суммирования, ибо есть два индекса суммирования. Множество пар где как нам известно, счетно, поэтому можно написать ряд с членами взятыми в некотором порядке. От того, в каком порядке эти члены

брать, может зависеть сумма такого ряда. Но, как мы только что видели, в абсолютно сходящихся рядах сумма не зависит от перестановки слагаемых. Таким образом, желательно выяснить, когда ряд с членами сходится абсолютно.

Утверждение 5. Произведение абсолютно сходящихся рядов является абсолютно сходящимся рядом, сумма которого равна произведению сумм перемножаемых рядов.

Заметим сначала, что, какую бы конечную сумму членов вида мы ни взяли, всегда можно указать так, что произведение сумм будет содержать все слагаемые исходной суммы. Поэтому

откуда вытекает абсолютная сходимость ряда сумма которого, таким образом, однозначно определена независимо от порядка слагаемых. В таком случае ее можно получить, например, как предел произведения сумм при Но при где что и завершает доказательство высказанного утверждения

Рассмотрим важный

Пример 8. Ряды сходятся абсолютно. В произведении этих рядов будем группировать мономы с одинаковой суммой показателей степени. Тогда получим ряд

Но

поэтому мы получаем, что