2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования.

Значение интеграла зависит как от подынтегральной функции, так и от отрезка, по которому ведется интегрирование. Например, если то, как мы уже знаем, если , т. е. определен интеграл который мы можем исследовать с точки зрения его зависимости от отрезка интегрирования.

Лемма 1. Если а то и имеет место равенство

Отметим прежде всего, что интегрируемость ограничений функции на отрезки гарантируется утверждением 4 из предыдущего параграфа.

Далее, поскольку , то при вычислении интеграла как предела интегральных сумм мы вправе выбирать любые удобные нам разбиения отрезка . В качестве таковых будем сейчас рассматривать только те разбиения Р отрезка , которые содержат точку 6. Каждое такое разбиение с отмеченными точками , очевидно, порождает разбиения отрезков соответственно, причем

Но тогда имеет место следующее равенство между соответствующими интегральными суммами:

Поскольку то при достаточно малом каждая из написанных интегральных сумм близка к соответствующему интегралу из (3). Таким образом, равенство (3) действительно имеет место.

Чтобы несколько расширить применимость полученного результата, вернемся временно вновь к определению интеграла.

Мы определили интеграл как предел интегральных сумм

отвечающих разбиениям с отмеченными точками отрезка интегрирования Разбиение Р составляла монотонная конечная последовательность точек причем точка совпадала с нижним пределом интегрирования а, а последняя точка совпадала с верхним пределом интегрирования Эта конструкция проводилась в предположении, что Если теперь взять произвольно два числа а и не требуя, чтобы обязательно было и, считая а нижним пределом интегрирования, а верхним, провести указанную конструкцию, то мы вновь получим сумму вида (4), в которой на сей раз будет если

при ибо Таким образом, сумма (4) при будет отличаться от интегральной суммы соответствующего разбиения отрезка только знаком.

По этим соображениям принимается следующее соглашение: если то

В связи с этим естественно также положить, что

После этих соглашений с учетом леммы 1 приходим к следующему важному свойству интеграла.

Теорема 2. Пусть и пусть — функция, интегрируемая на наибольшем из отрезков с концами в указанных точках. Тогда сужение на каждый из двух других отрезков также интегрируемо на соответствующем отрезке и имеет место равенство

В силу симметрии равенства (7) относительно , мы без ограничения общности можем считать, что

Бели то по лемме 1

что с учетом соглашения (5) дает равенство (7).

Бели то по лемме 1

что с учетом (5) вновь дает (7).

Наконец, если какие-то две из точек с или все три совпадают, то (7) следует из соглашений (5) и (6).

Определение 1. Пусть каждой упорядоченной паре точек отрезка поставлено в соответствие число причем так, что для любой тройки точек выполнено равенство

Тогда функция называется аддитивной функцией ориентированного промежутка, определенной промежутках, лежащих в отрезке

Если полагая из (7) заключаем, что

т. e. интеграл есть аддитивная функция промежутка интегрирования. Ориентированность промежутка состоит в данном случае в том, что мы упорядочиваем пару концов отрезка интегрирования, указывая, какой из них первый (являющийся нижним пределом интегрирования) и какой второй (являющийся верхним пределом интегрирования).