4. Функция как отношение. График функции.

В заключение вернемся вновь к самому понятию функции. Отметим, что оно претерпело длительную и довольно сложную эволюцию.

Термин «функция» впервые появился в 1692 г. у Г. Лейбница (правда, в некотором более узком смысле). В смысле, близком к современному, этот термин употребил в письме к Лейбницу от 1698 г. Иоганн Бернулли

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики.

Описание функции, почти совпадающее с приведенным в начале параграфа, встречается уже в учебниках математики С. Лакруа (1806 г.), переведенных на русский язык. Активным сторонником такого понимания функции был Н. И. Лобачевский. Более того, Н. И. Лобачевский указал (1834 г.), что «обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Это и есть идея точного определения понятия функции, которое мы теперь собираемся изложить.

Приведенное в начале параграфа описание понятия функции представляется весьма динамичным и отражающим суть дела. Однако с точки зрения современных канонов оно не может быть названо определением, ибо использует эквивалентное функции понятие соответствия. Для сведения читателя мы укажем здесь, каким образом дается определение функции на языке теории множеств.

а. Отношение.

Отношением называют любое множество упорядоченных пар

Множество X первых элементов упорядоченных пар, составляющих называют областью определения отношения множество У вторых элементов этих пар — областью значений отношения

Таким образом, отношение можно интерпретировать как подмножество прямого произведения Если , то, разумеется, , поэтому одно и то же отношение может задаваться как подмножество различных множеств.

Любое множество, содержащее область определения отношения, называют областью отправления этого отношения. Множество, содержащее область значений отношения, называют областью прибытия отношения.

Вместо того чтобы писать часто пишут х и говорят, что х связано с у отношением

Если , то говорят, что отношение задано на X.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 13. Диагональ

есть подмножество , задающее отношение равенства между элементами множества X. Действительно, означает, что

Пример 14. Пусть X — множество прямых в плоскости.

Две прямые и будем считать находящимися в отношении и будем писать если прямая b параллельна прямой а. Ясно, что тем самым в выделяется множество пар таких, что Из курса геометрии известно, что отношение параллельности между прямыми обладает следующими свойствами:

(рефлексивность);

(симметричность);

(транзитивность).

Любое отношение И, обладающее перечисленными тремя свойствами, т. е. рефлексивноесимметричное и транзитивное, принято называть отношением эквивалентности. Отношение эквивалентности обозначается специальным символом который в этом случае ставится вместо буквы обозначающей отношение. Итак, в случае отношения эквивалентности будем писать а вместо и говорить, что а эквивалентно

Пример 15. Пусть М — некоторое множество, а — совокупность всех его подмножеств. Для двух произвольных элементов множества т. е. для двух подмножеств множества М, всегда выполнена одна из следующих трех возможностей: а содержится в содержится в а; а не является подмножеством и не является подмножеством а.

Рассмотрим в качестве отношения в отношение включения для подмножеств X, т. е. положим по определению

Это отношение, очевидно, обладает следующими свойствами:

(рефлексивность);

с (транзитивность);

(антисимметричность).

Отношение между парами элементов некоторого множества X, обладающее указанными тремя свойствами, принято называть отношением частичного порядка на множестве X. Для отношения частичного порядка вместо часто пишут а и говорят, что следует за а.

Если кроме отмеченных двух свойств, определяющих отношение частичного порядка, выполнено условие, что

т. е. любые два элемента множества X сравнимы, то отношение называется отношением порядка, а множество X с определенным на нем отношением порядка называется линейно упорядоченным.

Происхождение этого термина связано с наглядным образом числовой прямой М, на которой действует отношение а между любой парой вещественных чисел.

b. Функция и график функции.

Отношение называется функциональным, если

Функциональное отношение называют функцией.

В частности, если X и Y — два не обязательно различных множества, то определенное на X отношение между элементами х из X и у из функционально, если для любого х существует и притом единственный элемент , находящийся с х в рассматриваемом отношении, т. е. такой, для которого

Такое функциональное отношение и есть отображение из X в У, или функция из X в

Функции мы чаще всего будем обозначать символом Если — функция, то вместо мы по-прежнему будем писать или называя значением функции на элементе х или образом элемента х при отображении

Сопоставление по «закону» элементу х «соответствующего» элемента , о чем говорилось в исходном описании понятия функции, как видим, состоит в том, что для каждого х указывается тот единственный элемент , что .

Графиком функции , понимаемой в смысле исходного описания, называют подмножество Г прямого произведения , элементы которого имеют вид Итак,

В новом описании понятия функции, когда мы ее задаем как подмножество , конечно, уже нет разницы между функцией и ее графиком.

Мы указали на принципиальную возможность формального теоретикомножественного определения функции, сводящуюся по существу к отождествлению функции и ее графика. Однако мы не собираемся в дальнейшем ограничиваться только такой формой задания функции. Функциональное отношение иногда удобно задать в аналитической форме, иногда таблицей значений, иногда словесным описанием процесса (алгоритма), позволяющего по данному находить соответствующий элемент . При каждом таком способе задания функции имеет смысл вопрос о ее задании с помощью графика, что формулируют так: построить график функции. Задание числовых функций хорошим графическим изображением часто бывает полезно тем, что делает наглядным основные качественные особенности функциональной зависимости. Для расчетов графики тоже можно использовать (номограммы), но, как правило, в тех случаях, когда расчет не требует высокой точности. Для точных расчетов используют табличное задание функции, а чаще — алгоритмическое, реализуемое в вычислительных машинах.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)