2. Формула Ньютона—Лейбница

Теорема 2. Если — ограниченная функция с конечным числом точек разрыва, то

где любая из первообразных функции на отрезке

Интегрируемость ограниченной на отрезке функции с конечным числом точек разрыва нам уже известна (см. § 1, следствие 2 утверждения 2). Наличие обобщенной первообразной функции на гарантирует теорема 1, в силу которой имеет вид (4). Полагая в получим, что откуда

В частности,

что с точностью до обозначения переменной интегрирования совпадает с доказываемой формулой (5).

Фундаментальное для всего анализа соотношение (5) называется формулой Ньютона — Лейбница.

Разность значений любой функции часто записывают символом . В этих обозначениях формула Ньютона—Лейбница приобретает

Поскольку обе части этой формулы одновременно меняют знак при перестановке a и b, то формула справедлива при любом соотношении величин а и т. е. как при , так и при

На упражнениях по анализу формула Ньютона—Лейбница большей частью используется только для вычисления стоящего слева интеграла, и это может породить несколько искаженное представление об ее использовании. На самом деле положение вещей таково, что конкретные интегралы редко находят через первообразную, а чаще прибегают к прямому счету на ЭВМ с помощью хорошо разработанных численных методов. Формула Ньютона—Лейбница занимает ключевую, связывающую интегрирование и дифференцирование, позицию в самой теории математического анализа, в которой она, в частности, получает далеко идущее развитие в виде так называемой общей формулы Стокса

Примером того, как формула Ньютона—Лейбница используется в самом анализе, может служить уже материал следующего пункта настоящего параграфа.