2. Рациональные и иррациональные числа

а. Целые числа

Определение 3. Объединение множества натуральных чисел, множества чисел, противоположных натуральным числам, и нуля называется множеством целых чисел и обозначается символом

Поскольку, как уже было доказано, сложение и умножение натуральных чисел не выводят за пределы то эти же операции над целыми числами не выводят за пределы множества

Действительно, если то либо одно из этих чисел равно нулю и тогда сумма равна другому числу, т. е. произведение либо оба числа отличны от нуля. В последнем случае либо и тогда либо и тогда либо и тогда либо, наконец, и тогда и снова

Таким образом, есть абаяева группа по отношению к операции сложения. По отношению к операции умножения множество и даже не является группой, поскольку числа, обратные целым, не лежат в (кроме числа, обратного единице и минус единице).

Действительно, если то, считал сначала имеем и, поскольку должно быть в предыдущем параграфе следствия аксиом порядка). Таким образом, Случай, когда — отрицательное целое число, отличное от — 1, непосредственно сводится к уже разобранному.

В том случае, когда для чисел число т. е. когда где говорят, что целое число делится на целое число или кратно или что есть делитель

Делимость целых чисел путем надлежащих изменений знаков, т. е. домножением на — 1, если в этом есть необходимость, немедленно приводится к делимости соответствующих натуральных чисел, в рамках которых она и изучается в арифметике.

Напомним без доказательства так называемую основную теорему арифметики, которой при рассмотрении некоторых примеров мы будем пользоваться.

Число называется простым, если в него нет делителей, отличных от 1 и .

Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число допускает и притом единственное (с точностью до порядка сомножителей) представление в виде произведения

где — простые числа.

Числа называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, отличных от

Из приведенной теоремы, в частности, видно, что если произведение взаимно простых чисел делится на простое число , то одно из чисел также делится на .

b. Рациональные числа

Определение 4. Числа вида где называются рациональными.

Множество рациональных чисел обозначается знаком

Таким образом, упорядоченная пара целых чисел определяет рациональное число если

Число записывают также в виде отношения тип или так называемой рациональной дроби

Правила действий с рациональными числами, относящиеся к такой форме их представления дробями, изучавшиеся в школе, немедленно вытекают из

определения рационального числа и аксиом действительных чисел. В частности, «от умножения числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля целое число величина дроби не изменяется», т. е. дроби и

— представляют одно и то же рациональное число. В самом деле, поскольку

Таким образом, различные упорядоченные пары задают одно и то же рациональное число. Следовательно, после соответствующих сокращений любое рациональное число можно задать упорядоченной парой взаимно простых целых чисел.

С другой стороны, если пары (7711,721) и (7712,712) задают одно и то же рациональное число, т. е. то и если, например, взаимно просты, то в силу упомянутого следствия основной теоремы арифметики

Мы показали, таким образом, что две упорядоченные пары задают одно и то же рациональное число тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. существует число к такое, что, например,

с. Иррациональные числа

Определение 5. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Классическим примером иррационального действительного числа является , т. е. число такое, что Иррациональность в силу теоремы Пифагора эквивалентна утверждению о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата.

Итак, проверим, во-первых, что существует положительное действительное число , квадрат которого равен двум, и, во-вторых, что

Пусть X и — множества положительных действительных чисел такие, что Поскольку то I и - непустые множества.

Далее, поскольку для положительных то любой элемент меньше любого элемента По аксиоме полноты существует число такое, что для

Покажем, что

Если бы было то, например, квадрат числа большего чем , был бы меньше 2. Действительно, ведь поэтому Значит,

Следовательно, что несовместимо с неравенством для любого элемента

Если бы было то, например, квадрат числа , меньшего чем 5, был бы больше 2. Действительно, ведь , поэтому или Отсюда

и мы вступаем в противоречие с тем, что ограничивает множество снизу.

Таким образом, реализуется только одна оставшаяся возможность:

Покажем, наконец, что Предположим, что и пусть несократимое представление Тогда следовательно, значит, и делится на 2. Но если то и по той же причине должно делиться на 2, что противоречит несократимости дроби

Сейчас мы трудились над тем, чтобы доказать существование иррациональных чисел. Вскоре мы увидим, что в некотором смысле почти все действительные числа иррациональны. Будет показано, что мощность множества иррациональных чисел больше мощности множества всех рациональных чисел и совпадает с мощностью множества всех действительных чисел.

Среди иррациональных чисел выделяют еще так называемые алгебраические иррациональности и трансцендентные числа.

Вещественное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого алгебраического уравнения

с рациональными (или, что эквивалентно, с целыми) коэффициентами.

В противном случае число называется трансцендентным.

Мы увидим, что мощность множества алгебраических чисел такая же, как мощность множества рациональных чисел, а мощность множества трансцендентных чисел такая же, как мощность всех действительных чисел; поэтому на первый взгляд кажутся парадоксальными и неестественными трудности в предъявлении конкретного трансцендентного числа, точнее, в доказательстве его трансцендентности.

Так, например, только в 1882 г. было доказано, что классическое геометрическое число является трансцендентным, а одна из знаменитых проблем

Гильберта состояла в том, чтобы доказать трансцендентность числа а, где а — алгебраическое, - алгебраическое иррациональное число (например, ).