Главная > Математический анализ. Часть I. (Зорич В.А.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Рациональные и иррациональные числа

а. Целые числа

Определение 3. Объединение множества натуральных чисел, множества чисел, противоположных натуральным числам, и нуля называется множеством целых чисел и обозначается символом

Поскольку, как уже было доказано, сложение и умножение натуральных чисел не выводят за пределы то эти же операции над целыми числами не выводят за пределы множества

Действительно, если то либо одно из этих чисел равно нулю и тогда сумма равна другому числу, т. е. произведение либо оба числа отличны от нуля. В последнем случае либо и тогда либо и тогда либо и тогда либо, наконец, и тогда и снова

Таким образом, есть абаяева группа по отношению к операции сложения. По отношению к операции умножения множество и даже не является группой, поскольку числа, обратные целым, не лежат в (кроме числа, обратного единице и минус единице).

Действительно, если то, считал сначала имеем и, поскольку должно быть в предыдущем параграфе следствия аксиом порядка). Таким образом, Случай, когда — отрицательное целое число, отличное от — 1, непосредственно сводится к уже разобранному.

В том случае, когда для чисел число т. е. когда где говорят, что целое число делится на целое число или кратно или что есть делитель

Делимость целых чисел путем надлежащих изменений знаков, т. е. домножением на — 1, если в этом есть необходимость, немедленно приводится к делимости соответствующих натуральных чисел, в рамках которых она и изучается в арифметике.

Напомним без доказательства так называемую основную теорему арифметики, которой при рассмотрении некоторых примеров мы будем пользоваться.

Число называется простым, если в него нет делителей, отличных от 1 и .

Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число допускает и притом единственное (с точностью до порядка сомножителей) представление в виде произведения

где — простые числа.

Числа называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, отличных от

Из приведенной теоремы, в частности, видно, что если произведение взаимно простых чисел делится на простое число , то одно из чисел также делится на .

b. Рациональные числа

Определение 4. Числа вида где называются рациональными.

Множество рациональных чисел обозначается знаком

Таким образом, упорядоченная пара целых чисел определяет рациональное число если

Число записывают также в виде отношения тип или так называемой рациональной дроби

Правила действий с рациональными числами, относящиеся к такой форме их представления дробями, изучавшиеся в школе, немедленно вытекают из

определения рационального числа и аксиом действительных чисел. В частности, «от умножения числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля целое число величина дроби не изменяется», т. е. дроби и

— представляют одно и то же рациональное число. В самом деле, поскольку

Таким образом, различные упорядоченные пары задают одно и то же рациональное число. Следовательно, после соответствующих сокращений любое рациональное число можно задать упорядоченной парой взаимно простых целых чисел.

С другой стороны, если пары (7711,721) и (7712,712) задают одно и то же рациональное число, т. е. то и если, например, взаимно просты, то в силу упомянутого следствия основной теоремы арифметики

Мы показали, таким образом, что две упорядоченные пары задают одно и то же рациональное число тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. существует число к такое, что, например,

с. Иррациональные числа

Определение 5. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Классическим примером иррационального действительного числа является , т. е. число такое, что Иррациональность в силу теоремы Пифагора эквивалентна утверждению о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата.

Итак, проверим, во-первых, что существует положительное действительное число , квадрат которого равен двум, и, во-вторых, что

Пусть X и — множества положительных действительных чисел такие, что Поскольку то I и - непустые множества.

Далее, поскольку для положительных то любой элемент меньше любого элемента По аксиоме полноты существует число такое, что для

Покажем, что

Если бы было то, например, квадрат числа большего чем , был бы меньше 2. Действительно, ведь поэтому Значит,

Следовательно, что несовместимо с неравенством для любого элемента

Если бы было то, например, квадрат числа , меньшего чем 5, был бы больше 2. Действительно, ведь , поэтому или Отсюда

и мы вступаем в противоречие с тем, что ограничивает множество снизу.

Таким образом, реализуется только одна оставшаяся возможность:

Покажем, наконец, что Предположим, что и пусть несократимое представление Тогда следовательно, значит, и делится на 2. Но если то и по той же причине должно делиться на 2, что противоречит несократимости дроби

Сейчас мы трудились над тем, чтобы доказать существование иррациональных чисел. Вскоре мы увидим, что в некотором смысле почти все действительные числа иррациональны. Будет показано, что мощность множества иррациональных чисел больше мощности множества всех рациональных чисел и совпадает с мощностью множества всех действительных чисел.

Среди иррациональных чисел выделяют еще так называемые алгебраические иррациональности и трансцендентные числа.

Вещественное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого алгебраического уравнения

с рациональными (или, что эквивалентно, с целыми) коэффициентами.

В противном случае число называется трансцендентным.

Мы увидим, что мощность множества алгебраических чисел такая же, как мощность множества рациональных чисел, а мощность множества трансцендентных чисел такая же, как мощность всех действительных чисел; поэтому на первый взгляд кажутся парадоксальными и неестественными трудности в предъявлении конкретного трансцендентного числа, точнее, в доказательстве его трансцендентности.

Так, например, только в 1882 г. было доказано, что классическое геометрическое число является трансцендентным, а одна из знаменитых проблем

Гильберта состояла в том, чтобы доказать трансцендентность числа а, где а — алгебраическое, - алгебраическое иррациональное число (например, ).

1
Оглавление
email@scask.ru