Задачи и упражнения
1. Покажите, что
касательная к эллипсу
в точке 
имеет уравнение
световые лучи от источника, помещенного в одном из двух фокусов 
0) эллипса с полуосями 
собираются эллиптическим зеркалом в другом фокусе.
2. Напишите формулы для приближенного вычисления значений
при значениях а, близких к нулю;
при значениях 
близких к нулю;
при значениях а, близких к нулю;
при значениях 
близких к нулю.
3. Стакан с водой вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью 
Пусть 
— уравнение кривой, получающейся в сечении поверхности жидкости плоскостью, проходящей через ось вращения.
Покажите, что 
где 
— ускорение свободного падения (см. пример 5).
Подберите 
так, чтобы функция 
удовлетворяла условию, указанному в а) (см. пример 6).
Изменится ли приведенное в а) условие на функцию 
если ось вращения не будет совпадать с осью стакана?
4. Тело, которое можно считать материальной точкой, под действием силы тяжести скатывается с гладкой горки, являющейся графиком дифференцируемой функции 
Найдите горизонтальную и вертикальную компоненты вектора ускорения, которое имеет тело в точке 
В случае, когда 
и тело скатывается с большой высоты, найдите ту точку параболы 
в которой горизонтальная составляющая ускорения максимальна.
5. Положим
и продолжим эту функцию на всю числовую прямую с периодом 1. Эту продолженную функцию обозначим через 
Пусть, далее,
Функция 
имеет период 
и производную, равную 
или —1 всюду, кроме точек 
Пусть
Покажите, что функция 
определена и непрерывна на 
но ни в одной точке не имеет производной. (Этот пример принадлежит известному современному голландскому математику Б. Л. Ван дер Вардену. Первые примеры непрерывных функций, не имеющих производной, были построены Больцано (1830 г.) и Вейерштрассом (1860 г.).)
