§ 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла
1. Интеграл как линейная функция на пространстве R[a,b]
Теорема 1. Если 
— интегрируемые на отрезке 
функции, то их линейная комбинация 
также является интегрируемой на 
функцией, причем
Рассмотрим интегральную сумму для интеграла, стоящего в левой части соотношения (1), и преобразуем ее:
Поскольку правая часть последнего равенства стремится к линейной комбинации интегралов, стоящих в правой части равенства (1), если параметр 
разбиения стремится к нулю, то левая часть равенства (2) тоже имеет предел при 
и этот предел совпадает с пределом правой части. Таким образом, 
и выполнено равенство (1).
Если множество 
рассматривать как векторное пространство над полем действительных чисел, а интеграл 
— как действительнозначную функцию, определенную на векторах пространства 
то теорема 1 утверждает, что интеграл есть линейная функция на векторном пространстве 
Во избежание возможной путаницы, функции, определенные на функциях, называют обычно функционалами. Таким образом, мы доказали, что интеграл есть линейный функционал на векторном пространстве интегрируемых функций.
