2. Глобальные свойства непрерывных функций.

Глобальным свойством функции, описательно говоря, называется свойство, связанное со всей областью определения функции.

Теорема 2 (теорема Больцано — Коши о промежуточном значении). Если функция, непрерывная на отрезке, принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке есть точка, в которой функция обращается в нуль.

В логической символике эта теорема имеет следующую запись:

Делим отрезок пополам. Если в точке деления функция не равна нулю, то на концах одного из двух полученных в результате деления отрезков функция снова принимает значения разных знаков. С этим отрезком поступаем теперь так же, как и с исходным отрезком т. е. делим его пополам, и продолжаем процесс дальше.

Тогда мы либо на каком-то шаге попадем в точку с где либо получим последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю и на концах которых принимает значения разных знаков. В последнем случае на основании леммы о вложенных отрезках найдется единственная точка с общая для всех этих отрезков. По построению существуют две последовательности концов отрезков такие, что По свойствам предела и определению непрерывности получаем

Таким образом,

Замечания к теореме 2. 1° Доказательство теоремы доставляет простейший алгоритм отыскания корня уравнения на отрезке, в концах которого непрерывная функция имеет значения разных знаков.

2° Теорема 2, таким образом, утверждает, что при непрерывном изменении нельзя перейти от положительных значений к отрицательным или наоборот, не приняв по дороге значения нуль.

3° К описательным высказываниям типа 2° следует относиться с разумной осторожностью, поскольку в них обычно подразумевается больше, чем высказывается. Рассмотрим, например, функцию, равную —1 на отрезке [0,1] и равную 1 на отрезке [2,3]. Ясно, что эта функция непрерывна на области своего определения, принимает там значения разных знаков, но нигде не обращается в нуль. Это замечание показывает, что свойство непрерывной функции, выраженное теоремой 2, действительно проистекает от некоторого свойства ее области определения (которое, как впоследствии выяснится, состоит в том, что это множество должно быть связным).

Следствие теоремы 2. Если функция непрерывна на интервале и в каких-то точках а и интервала принимает значения то для любого числа С, лежащего между А и В, найдется точка с, лежащая между точками а и в которой

Отрезок I с концами лежит в нашем интервале, поэтому функция определена, непрерывна на I и, поскольку по теореме 2 между а и найдется точка с, в которой

Теорема 3 (теорема Вейерштрасса о максимальном значении). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нем. При этом на отрезке есть точку где функция принимает максимальное значение, и есть точка; где она принимает минимальное значение.

Пусть непрерывная функция на отрезке В силу локальных свойств непрерывной функции (см. теорему 1) для любой точки найдется окрестность такая, что на множестве функция ограничена. Совокупность таких окрестностей построенных для всех точек , образует покрытие отрезка интервалами, из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную систему интервалов, покрывающих в совокупности отрезок Поскольку на множестве функция ограничена, т. е. , где то в любой точке имеем

Ограниченность функции на отрезке установлена.

Пусть теперь Предположим, что в любой точке . Тогда непрерывная на Е функция нигде на Е не обращается в нуль, хотя (в силу определения М) может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю. Тогда функция с одной стороны, в силу локальных свойств непрерывных функций, непрерывна на Е, а с другой — не ограничена на Е, что противоречит уже доказанной ограниченности функции, непрерывной на отрезке.

Итак, существует точка в которой

Аналогичным образом, рассмотрев и вспомогательную функцию докажем, что существует точка в которой

Заметим, что, например, функции непрерывны на интервале но не имеет на Е ни максимального, ни минимального значений, а функция не ограничена на Е. Таким образом, выраженные теоремой 3 свойства непрерывной функции также связаны с некоторым свойством области определения, а именно с тем, что из покрытия множества Е окрестностями его точек можно извлечь конечное покрытие. Такие множества мы впоследствии назовем компактами.

Прежде чем перейти к следующей теореме, дадим

Определение 1. Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого числа найдется число такое, что для любых точек таких, что выполнено

Короче,

Обсудим понятие равномерной непрерывности.

1° Если функция равномерно непрерывна на множестве, то она непрерывна в любой его точке. Действительно, достаточно в приведенном определении положить и мы видим, что определение непрерывности функции точке удовлетворено.

2° Непрерывность функции, вообще говоря, не влечет ее равномерную непрерывность.

Пример 4. Уже неоднократно встречавшаяся нам функция на интервале непрерывна. Однако в любой окрестности точки 0 в множестве Е функция принимает как значение —1, так и значение 1, поэтому при для нее уже не выполнено условие

Полезно в этой связи записать в явном виде отрицание свойства функции быть равномерно непрерывной:

Рассмотренный пример делает наглядным различие между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции на множестве. Чтобы указать то место в определении равномерной непрерывности, откуда проистекает это различие, приведем подробную запись того, что значит, что функция непрерывна на множестве Е:

Таким образом, здесь число 8 выбирается по точке и числу и потому при фиксированном может меняться от точки к точке, как это и происходит в случае функции рассмотренной в примере 1, или в случае функции или рассматриваемых на полной области их определения.

В случае же равномерной непрерывности гарантируется возможность выбора только по числу так, что во всех точках из при будет следовать

Пример 5. Если функция не ограничена в любой окрестности фиксированной точки , то она не является равномерно непрерывной.

Действительно, тогда при любом в --окрестности найдутся точки такие, что хотя

Так обстоит дело с функцией рассматриваемой на множестве В данном случае

Так обстоит дело и с функцией , определенной на множестве положительных чисел и неограниченной в окрестности точки

Пример 6. Функция непрерывная на не является равномерно непрерывной на

В самом деле, в точках где имеем поэтому Но

поэтому при любом найдутся точки такие, что в то время как

Пример 7. Функция непрерывная и ограниченная на не является равномерно непрерывной на М. Действительно, в точках где имеем в то время как

После этого обсуждения понятия равномерной непрерывности функции и сопоставления непрерывности и равномерной непрерывности мы можем теперь оценить следующую теорему.

Теорема 4 (теорема Кантора—Гейне о равномерной непрерывности). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке.

Отметим, что в имеющейся литературе эту теорему обычно называют теоремой Кантора. Чтобы избежать разночтений, мы в дальнейшем при ссылках сохраняем это распространенное наименование.

Пусть — данная функция; Поскольку непрерывна в любой точке , то (см. § 1, п. 1, 6°) по можно найти такую -окрестность точки х, что колебание и Функции на множестве точек области определения функции, лежащих в окажется меньше е. Для каждой точки построим окрестность обладающую этим свойством. Величина 6 при этом может меняться от точки к точке, поэтому правильнее, хотя и более громоздко, обозначить построенную окрестность символом но, поскольку весь символ определяется точкой х, можно условиться в следующей сокращенной записи:

Интервалы , в совокупности образуют покрытие отрезка из которого по лемме о конечном покрытии можно выделить конечное покрытие Пусть Покажем, что для любых точек таких, что выполнено Действительно, поскольку система интервалов покрывает Е, найдется интервал этой системы, который содержит точку Но в таком случае

Следовательно, и потому

Приведенные выше примеры показывают, что теорема Кантора существенно опирается на некоторое свойство области определения функции. Из доказательства видно, что, как и в теореме 3, это свойство состоит в том, что из любого покрытия множества Е окрестностями его точек можно извлечь конечное покрытие.

Теперь, после того как теорема 4 доказана, полезно вновь вернуться к разобранным выше примерам непрерывных, но не равномерно непрерывных функций и выяснить, как, например, функция равномерно непрерывная по теореме Кантора на каждом отрезке вещественной прямой, оказывается не равномерно непрерывной на Е. Причина здесь вполне аналогична той, по которой вообще непрерывная функция может оказаться не равномерно непрерывной. На сей раз мы предоставляем читателю возможность самостоятельно разобраться в этом вопросе.

Теперь перейдем к последней теореме параграфа — теореме об обратной функции. Нам предстоит выяснить условия, при которых непрерывная на отрезке вещественнозначная функция имеет обратную и в каких случаях эта обратная функция непрерывна.

Утверждение 1. Непрерывное отображение отрезка в Е инъективно в том и только в том случае, когда функция строго монотонна на отрезке

Если функция возрастает или убывает на произвольном множестве , то отображение , очевидно, инъективно: в различных точках множества Е функция принимает различные значения.

Таким образом, наиболее содержательная часть утверждения 1 состоит в том, что всякое непрерывное инъективное отображение отрезка осуществляется строго монотонной функцией.

Предположив, что это не так, мы найдем три точки отрезка такие, что не лежит между В таком случае либо лежит между либо лежит между Пусть для определенности имеет место последняя из двух указанных возможностей. По условию функция непрерывна на отрезке и потому (см. следствие теоремы 2) на нем есть точка такая, что . Таким образом, что несовместимо с инъективностью отображения. Случай, когда лежит между разбирается аналогично.

Утверждение 2. Каждая строго монотонная функция , определенная на числовом множестве , обладает обратной функцией , которая определена на множестве значений функции и имеет на тот же характер монотонности, какой имеет функция на множестве X.

Отображение сюръективно, т. е. является отображением на множество Пусть для определенности возрастает на X. В этом случае

Таким образом, отображение в различных точках принимает различные значения, т. е. оно инъективно. Следовательно, биективно, т. е. — взаимно однозначное отображение X на Значит, определено обратное отображение , задаваемое формулой если

Сопоставляя определение отображения с соотношением (1), приходим к соотношению

означающему, что функция возрастает на области своего определения.

Случай, когда убывает на X, очевидно, разбирается аналогично.

В соответствии с доказанным утверждением 2, если интересоваться непрерывностью функции, обратной к вещественнозначной функции, полезно исследовать условия непрерывности монотонных функций.

Утверждение 3. Функция монотонная на множестве , может иметь на Е разрывы только первого рода.

Пусть, для определенности, — неубывающая функция. Предположим, что есть точка разрыва функции Поскольку а не может быть изолированной точкой множества то а — предельная точка по крайней мере для одного из двух множеств Поскольку — неубывающая функция, для любой точки имеем и ограничение функции на множество оказывается неубывающей ограниченной сверху функцией. Тогда существует предел

Аналогично доказывается существование предела если а — предельная точка множества

Случай, когда — невозрастающая функция, можно либо разобрать, повторив проведенное доказательство, либо, перейдя к функции свести дело к уже рассмотренному случаю.

Следствие 1. Если а — точка разрыва монотонной функции , то по крайней мере один из пределов

определен; по крайней мере в одном из неравенств если — неубывающая если невозрастающая) функция, имеет место знак строгого неравенства; в интервале, определяемом этим строгим неравенством, нет ни одного значения функции; указанные интервалы, отвечающие различным точкам разрыва монотонной функции, не пересекаются.

Действительно, если а — точка разрыва, то она предельная для множества Е и в силу утверждения 3 является точкой разрыва первого рода. Таким образом, по крайней мере одна из баз определена и по ней (а в случае определенности обеих баз — по каждой из них) существует предел функции Пусть, для определенности, — неубывающая функция. Поскольку а — точка разрыва, то по крайней мере в одном из неравенств на самом деле имеет место строгое неравенство. Поскольку если и, аналогично, если то интервал, определяемый строгим неравенством или , действительно свободен от значений функции. Пусть — две различные точки разрыва функции, и пусть Тогда, в силу неубывания функции имеем

Отсюда следует, что не содержащие значений функции интервалы, отвечающие различным точкам разрыва, не пересекаются.

Следствие 2. Множество точек разрыва монотонной функции не более чем счетно.

С каждой точкой разрыва монотонной функции свяжем, по следствию 1, интервал, определяемый значением функции в точке разрыва и одним из пределов функции при приближении аргумента справа или слева к точке разрыва. Эти интервалы не пересекаются. Но на прямой может быть не более чем счетное множество непересекающихся интервалов. В самом деле, в каждом из них можно выбрать по рациональной точке, и тогда множество интервалов окажется равномощным подмножеству счетного множества всех рациональных чисел. Значит, оно само не более чем счетно. Вместе с ним, таким образом, не более чем счетно и равномощное ему по построению множество точек разрыва монотонной функции.

Утверждение 4 (критерий непрерывности монотонной функции). Монотонная функция заданная на отрезке непрерывна на нем тогда и только тогда, когда множество ее значений само является отрезком с концами

Если непрерывная монотонная функция, то ввиду монотонности все значения, которые функция принимает на отрезке лежат между значениями которые она принимает в концах отрезка. Ввиду непрерывности функции она обязана принимать также и все промежуточные значения между Таким образом, множество значений функции, монотонной и непрерывной на отрезке действительно является отрезком с концами

Докажем теперь обратное утверждение. Пусть — монотонная на отрезке функция. Если она разрывна в некоторой точке с то по следствию 1 утверждения 3 один из интервалов заведомо определен и в нем нет значений нашей функции. Но ввиду монотонности функции этот интервал содержится в отрезке с концами поэтому если на отрезке монотонная функция имеет хотя бы одну точку разрыва, то весь отрезок с концами не может лежать в области значений функции.

Теорема 5 (теорема об обратной функции). Функция , строго монотонная на множестве X С Е, имеет обратную функцию определенную на множестве значений функции Функция монотонна и имеет на тот же вид монотонности, какой имеет функция на множестве X.

Если, кроме того, X есть отрезок и функция непрерывна на нем, то множество есть отрезок с концами и функция непрерывна на нем.

Утверждение теоремы о том, что в случае и непрерывности множество есть отрезок с концами следует из доказанного выше утверждения 4. Остается проверить, что — непрерывная функция. Но монотонна на есть отрезок и — тоже отрезок. В силу утверждения 4 заключаем, что функция непрерывна на отрезке с концами

Пример 8. Функция возрастает и непрерывна на отрезке Значит, ограничение этой функции на отрезок имеет обратную функцию обозначаемую определенную на отрезке возрастающую от — до и непрерывную на этом отрезке.

Пример 9. Аналогично, ограничение функции на отрезок есть убывающая непрерывная функция, которая в силу теоремы 5 имеет обратную функцию, обозначаемую определенную на отрезке и убывающую на нем от значения до значения 0.

Пример 10. Ограничение функции на интервал есть возрастающая от до непрерывная функция, которая в силу первой части теоремы 5 имеет обратную функцию, обозначаемую

определенную на всей числовой прямой и возрастающую на ней в пределах интервала своих значений. Чтобы доказать непрерывность функции в любой точке у о ее области определения, возьмем точку и отрезок содержащий внутри и содержащийся в интервале Если то ввиду возрастания функции можно утверждать, что при любом у Е М таком, что будем иметь . Итак, при — и тем более при что и проверяет непрерывность функции в точке

Пример 11. Рассуждениями, аналогичными проведенным в предыдущем примере, устанавливаем, что поскольку ограничение функции на интервале есть убывающая от до непрерывная функция, то она имеет обратную функцию, обозначаемую определенную на всей числовой оси М, убывающую на ней в пределах интервала своих значений от до 0 и непрерывную на М.

Замечание. При построении графиков взаимно обратных функций полезно иметь в виду, что точки плоскости с координатами в одной и той же координатной системе (в которой лишь указана первая и вторая оси координат, а не ось х или ось симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла.

Таким образом, графики взаимно обратных функций, изображенные в одной системе координат, оказываются симметричными относительно этой биссектрисы.

Задачи и упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)