§ 2. Свойства непрерывных функций

1. Локальные свойства.

Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.

Таким образом, сами локальные свойства характеризуют поведение функции в каком-то предельном отношении, когда аргумент функции стремится к исследуемой точке. Например, непрерывность функции в некоторой точке области определения, очевидно, есть локальное свойство функции.

Укажем основные локальные свойства непрерывных функций.

Теорема 1. Пусть — функция, непрерывная в точке а . Тогда справедливы следующие утверждения:

1° Функция ограничена в некоторой окрестности точки а.

2° Если то в некоторой окрестности точки а все значения функции положительны или отрицательны вместе с

3° Если функция определена в некоторой окрестности точки а и, как и непрерывна в самой точке а, то функции:

определены в некоторой окрестности точки а и непрерывны в точке а.

4° Если функция непрерывна в точке функция такова, что непрерывна в точке а, то композиция определена на Е и также непрерывна в точке а.

Для доказательства теоремы достаточно вспомнить (см. § 1), что непрерывность функции или в некоторой точке а области определения равносильна тому, что предел этой функции по базе окрестностей точки а существует и равен значению функции в самой точке

Таким образом, утверждения 1°, 2°, 3° теоремы 1 непосредственно вытекают из определения непрерывности функции в точке и соответствующих свойств предела функции.

В пояснении нуждается только то, что отношение в самом деле определено в некоторой окрестности точки а. Но, по условию, и в силу утверждения 2° теоремы найдется окрестность в любой точке которой т. е. определено в

Утверждение 4° теоремы 1 является следствием теоремы о пределе композиции, в силу которой

что равносильно непрерывности в точке а.

Однако для применения теоремы о пределе композиции нужно проверить, что для любого элемента базы найдется элемент базы такой, что Но в самом деле, если то по определению непрерывности функции в точке а для окрестности найдется окрестность точки а в множестве Е такая, что Поскольку действует из Е в У, то и мы проверили законность применения теоремы о пределе композиции.

Пример 1. Алгебраический многочлен является функцией, непрерывной на Е. х

Действительно, из пункта 3° теоремы 1 по индукции следует, что сумма и произведение конечного числа непрерывных в некоторой точке функций есть функция непрерывная в этой точке. Мы проверили в примерах 1 и 2 § 1, что постоянная функция и функции непрерывны на Е. Тогда на Е непрерывны и функции следовательно, и полином

Пример 2. Рациональная функция — отношение полиномов — непрерывна всюду, где она определена, т. е. где Это следует из примера 1 и утверждения 3° теоремы 1.

Пример 3. Композиция конечного числа непрерывных функций непрерывна в любой точке области своего определения. Это по индукции вытекает из утверждения 4° теоремы 1. Например, функция непрерывна всюду на Е, за исключением точек к где она не определена.