2. Об аксиоматике теории множеств.

Цель настоящего пункта — дать интересующемуся читателю представление о системе аксиом, описывающих свойства математического объекта, называемого множествоми продемонстрировать простейшие следствия этих аксиом.

1° Аксиома объемности. Множества А и В равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же элементы.

Это означает, что мы отвлекаемся от всех прочих свойств объекта «множество», кроме свойства иметь данные элементы. На практике это означает, что если мы желаем установить, что то мы должны проверить, что

2° Аксиома выделения. Любому множеству А и свойству Р отвечает множество В, элементы которого суть те и только те элементы множества А, которые обладают свойством Р.

Короче, утверждается, что если А — множество, то и — тоже множество.

Эта аксиома очень часто используется в математических конструкциях, когда мы выделяем из множеств подмножества, состоящие из элементов, обладающих тем или иным свойством.

Например, из аксиомы выделения следует, что существует пустое подмножество в любом множестве X, а с учетом аксиомы объемности заключаем, что для любых множеств X и Y выполнено т. е. пустое множество единственно. Его обозначают символом 0.

Из аксиомы выделения следует также, что если А и В — множества, то — тоже множество. В частности, если М — множество и А — его подмножество, то См А — тоже множество.

3° Аксиома объединения. Для любого множества М множеств существует множество называемое объединением множества М, состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества М.

Если вместо слов «множество множеств» сказать «семейство множеств», то аксиома объединения приобретает несколько более привычное звучание: существует множество, состоящее из элементов множеств семейства. Таким образом, объединение множества есть множество, причем

Аксиома объединения с учетом аксиомы выделения позволяет определить пересечение множества М (семейства множеств) как множество

4° Аксиома пары. Для любых множеств существует множество такое, что X и являются его единственными элементами.

Множество обозначается через и называется неупорядоченной парой множеств X и Y. Множество состоит из одного элемента, если

Как мы уже отмечали, упорядоченная пара (X, У) множеств отличается от неупорядоченной наличием какого-либо признака у одного из множеств пары. Например,

Итак, неупорядоченная пара позволяет ввести упорядоченную пару, а упорядоченная пара позволяет ввести прямое произведение множеств, если воспользоваться аксиомой выделения и следующей важной аксиомой.

5° Аксиома множества подмножеств. Для любого множества X существует множество состоящее из тех и только тех элементов, которые являются подмножествами множества X.

Короче говоря, существует множество всех подмножеств данного множества.

Теперь можно проверить, что упорядоченные пары где , действительно образуют множество

Аксиомы ограничивают возможность формирования новых множеств. Так, в множестве по теореме Кантора (о том, что имеется элемент, не принадлежащий X, поэтому «множества» всех множеств не существует. А ведь именно на этом «множестве» держится парадокс Рассела.

Для того чтобы сформулировать следующую аксиому, введем понятие последователя множества X. Положим по определению Короче, к X добавлено одноэлементное множество

Далее, множество назовем индуктивным, если оно содержит в качестве элемента пустое множество и последователь любого своего элемента.

6° Аксиома бесконечности. Индуктивные множества существуют.

Аксиома бесконечности позволяет с учетом аксиом создать эталонную модель множества натуральных чисел (по фон Нейману), определив как пересечение индуктивных множеств, т. е. как наименьшее индуктивное множество. Элементами являются множества

которые и являются моделью того, что мы обозначаем символами и называем натуральными числами.

7° Аксиома подстановки. Пусть — такое высказывание (точнее, формула), что при любом из множества X существует и притом единственный объект такой, что истинно. Тогда объекты у, для каждого из которых существует элемент такой, что истинно, образуют множество.

Этой аксиомой при построении анализа мы пользоваться не будем.

Аксиомы составляют аксиоматику теории множеств, известную как аксиоматика Цермело—Френкеля.

К ней обычно добавляется еще одна, независимая от аксиом и часто используемая в анализе

8° Аксиома выбора. Для любого семейства непустых множеств существует множество С такое, что, каково бы ни было множество X данного семейства, множество состоит из одного элемента.

Иными словами, из каждого множества семейства можно выбрать в точности по одному представителю так, что выбранные элементы составят множество С.

Аксиома выбора, известная в математике как аксиома Цермело, вызвала горячие дискуссии специалистов.