§ 3. Функция

1. Понятие функции (отображения). Перейдем теперь к описанию фундаментального не только для математики понятия функциональной зависимости.

Пусть X и Y — какие-то множества.

Говорят, что имеется функция, определенная на X со значениями в У, если в силу некоторого закона каждому элементу х соответствует элемент

В этом случае множество X называется областью определения функции; символ х его общего элемента — аргументом функции или независимой переменной; соответствующий конкретному значению аргумента х элемент называют значением функции на элементе или значением функции при значении аргумента и обозначают через При изменении аргумента х значения , вообще говоря, меняются в зависимости от значений х. По этой причине величину часто называют зависимой переменной.

Множество

всех значений функции, которые она принимает на элементах множества X, будем называть множеством значений или областьюзначений функции.

В зависимости от природы множеств X, Y термин «функция» в различных отделах математики имеет ряд полезных синонимов: отображение, преобразование, морфизм, оператор, функционал. Отображение — наиболее распространенный из них, и мы его тоже часто будем употреблять.

Для функции (отображения) приняты следующие обозначения:

Когда из контекста ясно, каковы область определения и область значений функции, используют также обозначения или чаще обозначают функцию вообще одним лишь символом

Две функции считаются совпадающими или равными, если они имеют одну и ту же область определения X и на любом элементе х значения этих функций совпадают. В этом случае пишут

Если — некоторая функция, то через или обозначают функцию , совпадающую с на множестве А. Точнее, если х. Функция называется сужением или ограничением функции на множество А, а функция по отношению к функции называется распространением или продолжением функции на множество X.

Мы видим, что иногда приходится рассматривать функцию , определенную на подмножестве А некоторого множества X, причем область значений функции тоже может оказаться не совпадающим с У подмножеством множества У. В связи с этим для обозначения любого множества X, содержащего область определения функции, иногда используется термин область отправления функции, а любое множество У, содержащее область значений функции, называют тогда областью ее прибытия.

Итак, задание функции (отображения) предполагает указание тройки

X — отображаемое множество, или область определения функции;

— множество, в которое идет отображение, или область прибытия функции;

— закон, по которому каждому элементу х сопоставляется определенный элемент

Наблюдаемая здесь несимметричность между X и отражает то, что отображение идет именно из X в

Рассмотрим некоторые примеры функций.

Пример 1. Формулы устанавливают функциональную зависимость длины окружности и объема шара V от радиуса По смыслу каждая из этих формул задает свою функцию определенную на множестве положительных действительных чисел со значениями в том же множестве

Пример 2. Пусть X — множество инерциальных систем координат, а с: функция, состоящая в том, что каждой инерциальной системе координат х сопоставляется измеренное относительно нее значение скорости света в вакууме. Функция с постоянна, т. е. при любом х она имеет одно и то же значение с (это фундаментальный экспериментальный факт).

Пример 3. Отображение (прямого произведения оси времени и пространственной оси на себя же, задаваемое формулами

есть классическое преобразование Галилея для перехода от одной инерциальной системы координат к другой — движущейся относительно первой со скоростью

Той же цели служит отображение задаваемое соотношениями

Это — известное (одномерное) преобразование Лоренца играющее фундаментальную роль в специальной теории относительности; с — скорость света.

Пример 4. Проектирование задаваемое соответствием очевидно, является функцией. Аналогичным образом определяется вторая проекция

Пример 5. Пусть — множество всех подмножеств множества М. Каждому множеству поставим в соответствие множество т. е. дополнение к А в М. Тогда получим отображение множества в себя.

Пример 6. Пусть Е С М. Вещественнозначную функцию определенную на множестве М условиями если если называют характеристической функцией множества Е.

Пример 7. Пусть — множество отображений множества X в множество — фиксированный элемент из X. Любой функции поставим в соответствие ее значение на элементе Этим определяется функция В частности, если т. е. если есть множество действительных чисел, то каждой функции функция ставит в соответствие число Таким образом, есть функция, определенная на функциях. Для удобства такие функции называют функционалами.

Пример 8. Пусть Г — множество кривых, лежащих на поверхности (например, земной) и соединяющих две ее фиксированные точки. Каждой кривой можно сопоставить ее длину. Тогда мы получим функцию которую часто приходится рассматривать с целью отыскания кратчайшей линии или, как говорят, геодезической линии между данными точками на поверхности.

Пример 9. Рассмотрим множество всех вещественнозначных функций, определенных на всей числовой оси Фиксировав число а каждой функции поставим в соответствие функцию связанную с ней соотношением Функцию обычно называют сдвигом на а функции Возникающее при этом отображение называется оператором сдвига. Итак, оператор А определен на функциях и значениями его также являются функции:

Рассмотренный пример мог бы показаться искусственным, если бы мы на каждом шагу не видели реальные операторы. Так, любой радиоприемник есть оператор преобразующий электромагнитные сигналы в звуковые любой из наших органов чувств является оператором (преобразователем) со своими областью определения и областью значений.

Пример 10. Положение частицы в пространстве определяется упорядоченной тройкой чисел называемой ее координатами в пространстве. Множество всех таких упорядоченных троек можно себе мыслить как прямое произведение трех числовых осей

При движении в каждый момент времени частица находится в некоторой точке пространства с координатами Таким образом,

движение частицы можно интерпретировать как отображение где — ось времени, трехмерное пространство.

Если система состоит из частиц, то ее конфигурация задается положением каждой из частиц, т. е. упорядоченным набором из чисел. Множество всех таких наборов называется конфигурационным пространством системы частиц. Следовательно, конфигурационное пространство системы частиц можно интерпретировать как прямое произведение экземпляров пространства

Движению системы из частиц отвечает отображение оси времени в конфигурационное пространство системы.

Пример 11. Потенциальная энергия механической системы связана с взаимным расположением частиц системы, т. е. определяется конфигурацией, которую имеет система. Пусть — множество реально возможных конфигураций системы. Это некоторое подмножество конфигурационного пространства системы. Каждому положению отвечает некоторое значение потенциальной энергии системы. Таким образом, потенциальная энергия есть функция определенная на подмножестве конфигурационного пространства со значениями в области действительных чисел.

Пример 12. Кинетическая энергия К системы материальных частиц зависит от их скоростей. Полная механическая энергия системы т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий, зависит, таким образом, как от конфигурации системы, так и от набора скоростей ее частиц. Как и конфигурация частиц в пространстве, набор состоящий из трехмерных векторов, может быть задан упорядоченным набором из чисел. Упорядоченные пары отвечающие состояниям нашей системы, образуют подмножество Ф в прямом произведении называемом фазовым пространством системы частиц (в отличие от конфигурационного пространства

Полная энергия системы является, таким образом, функцией определенной на подмножестве Ф фазового пространства и принимающей значения в области действительных чисел.

В частности, если система замкнута, т. е. на нее не действуют внешние силы, то по закону сохранения энергии в любой точке множества Ф состояний системы функция Е будет иметь одно и то же значение