2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду.

Мы рассмотрим здесь только один вопрос этого типа, а именно укажем канонический вид, к которому удачным выбором координат можно локально привести любое гладкое отображение, имеющее постоянный ранг.

Напомним, что рангом гладкого отображения области Если в точке называется ранг касательного к нему в этой точке линейного отображения, т. е. ранг матрицы Ранг отображения в точке обозначают обычно символом

Теорема 2 (теорема о ранге). Пусть - отображение, определенное в окрестности Если точки Если любой точке отображение имеет один и тот же ранг к, то существуют окрестности точек и такие их диффеоморфизмы класса что в окрестности точки отображение имеет следующее координатное представление:

Иными словами, теорема утверждает (рис. 60), что вместо координат можно выбрать координаты вместо координат

координаты так, что локально наше отображение в этих новых координатах будет иметь вид (7), т. е. канонический вид линейного отображения ранга к.

Рис. 60

Запишем координатное представление

нашего отображения определенного в окрестности точки . Чтобы не менять нумерацию координат и окрестность будем считать, что в любой точке главный минор порядка к, стоящий в левом верхнем углу якобиевой матрицы отображения отличен от нуля.

Рассмотрим отображение, определяемое в окрестности точки равенствами

Его матрица Якоби имеет вид

и в силу сделанного предположения ее определитель отличен от нуля в

По теореме об обратной функции, отображение является диффеоморфизмом гладкости некоторой окрестности Если точки на окрестность точки

Сравнивая соотношения (8) и (9), видим, что композиция имеет следующее координатное представление:

Поскольку отображение в любой точке и имеет максимальный ранг отображение в любой точке имеет ранг то, как известно из линейной алгебры, матрица имеет ранг А: в любой точке и

Прямой подсчет матрицы Якоби отображения (10) дает

Значит, в любой точке и получаем

Считая окрестность выпуклой (чего можно добиться, уменьшив например, до шара с центром отсюда можно заключить, что функции при на самом деле не зависят от переменных .

После этого решающего наблюдения отображение (10) можно переписать в виде

Теперь уже можно указать отображение Положим

Из построения функций видно, что отображение определено в некоторой окрестности точки и принадлежит классу в этой окрестности.

Матрица Якоби отображения (12) имеет вид

Ее определитель равен 1, и, значит, по теореме 1 отображение является диффеоморфизмом гладкости некоторой окрестности точки на окрестность точки

Сравнивая соотношения (11) и (12), видим, что в достаточно малой окрестности точки такой, что отображение является отображением гладкости этой окрестности на некоторую окрестность точки и при этом имеет канонический вид

Полагая получаем указанные в теореме окрестности точек чем и завершается доказательство.

Теорема 2, как и теорема 1, очевидно, является локальным вариантом соответствующей теоремы линейной алгебры.

В связи с проведенным доказательством теоремы 2 сделаем следующие полезные для дальнейшего замечания.

Замечание 1. Если в любой точке исходной окрестности Если ранг отображения равен то точка где является внутренней точкой множества т. е. содержится в вместе с некоторой своей окрестностью.

Действительно, по доказанному отображение в этом случае имеет вид

поэтому образ окрестности точки содержит некоторую окрестность точки .

Но отображения — диффеоморфизмы, поэтому они переводят внутренние точки во внутренние. Записывая теперь исходное отображение в виде о можем заключить, что точка является внутренней точкой образа окрестности точки

Замечание 2. Если ранг отображения в любой точке окрестности равен к и то, в силу равенств (8), (12) и (13), в некоторой окрестности точки имеют место соотношений

Указанные соотношения выписаны в принятом нами предположении о том, что главный минор порядка к матрицы отличен от нуля, т. е. что ранг к реализуется уже на наборе функций В противном случае можно было бы изменить нумерацию функций и снова иметь указанную ситуацию.