ГЛАВА II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА

Математические теории, как правило, находят свой выход в том, что позволяют перерабатывать один набор чисел (исходные данные) в другой набор чисел, составляющий промежуточную или окончательную цель вычислений. По этой причине особое место в математике и ее приложениях занимают числовые функции. Они (точнее, так называемые дифференцируемые числовые функции) составляют главный объект исследования классического анализа. Но сколь-нибудь полное с точки зрения современной математики описание свойств этих функций, как вы уже могли почувствовать в школе и в чем вскоре убедитесь, невозможно без точного определения множества вещественных чисел, на котором эти функции действуют.

Число в математике, как время в физике, известно каждому, но непонятно лишь специалистам. Это одна из основных математических абстракций, которой, по-видимому, еще предстоит существенная эволюция и рассказу о которой может быть посвящен самостоятельный насыщенный курс. Здесь же мы имеем в виду только свести воедино то, что читателю в основном известно о действительных числах из средней школы, выделив в виде аксиом фундаментальные и независимые свойства чисел. При этом наша цель состоит в том, чтобы дать точное, пригодное для последующего математического использования определение вещественных чисел и обратить особое внимание на их свойство полноты, или непрерывности, являющееся зародышем предельного перехода — основной неарифметической операции анализа.

§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел

1. Определение множества действительных чисел

Определение 1. Множество Е называется множеством действительных (вещественных) чисел, а его элементы — действительными (вещественными)

числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

(I) Аксиомы сложения

Определено отображение (операция сложения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из Е некоторый элемент , называемый суммой х и у. При этом выполнены следующие условия:

Существует нейтр алъный элемент 0 (называемый в случае сложения нулем) такой, что для любого

Для любого элемента имеется элемент , называемый пр отивопо ложным к такой, что

Операция 4 ассоциативна, т. е. для любых элементов из выполнено

Операция 4 коммутативна, т. е. для любых элементов из Е выполнено

Если на каком-то множестве определена операция, удовлетворяющая аксиомам то говорят, что на задана структура группы или что есть группа. Если операцию называют сложением, то группу называют аддитивной. Если, кроме того, известно, что операция коммутативна, т. е. выполнено условие то группу называют коммутативной или абелевой. Итак, аксиомы говорят, что Е есть аддитивная абелева группа.

(II) Аксиомы умножения

Определено отображение (операция умножения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из Е некоторый элемент , называемый произведением х и у, причем так, что выполнены следующие условия:

1. Существует нейтральный элемент в случае умножения единицей) такой, что

2. Для любого элемента имеется элемент , называемый обратным, такой, что

3. Операция ассоциативна, т. е. любых из Е

4. Операция коммутативна, т. е. для любых

Заметим, что по отношению к операции умножения множество как можно проверить, является (мультипликативной) группой.

(I, II) Связь сложения и умножения

Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, т. е.

Отметим, что ввиду коммутативности умножения последнее равенство сохранится, если в обеих его частях поменять порядок множителей.

Если на каком-то множестве действуют две операции, удовлетворяющие всем перечисленным аксиомам, то называется алгебраическим полем или просто полем.

(III) Аксиомы порядка

Между элементами Е имеется отношение т. е. для элементов из Е установлено, выполняется ли или нет. При этом должны удовлетворяться следующие условия:

Отношение называется отношением неравенства.

Множество, между некоторыми элементами которого имеется отношение, удовлетворяющее аксиомам 0, 1, 2, как известно, называют частично упорядоченным, а если, сверх того, выполнена аксиома 3, т. е. любые два элемента множества сравнимы, то множество называется линейно упорядоченным.

Таким образом, множество действительных чисел линейно упорядочено отношением неравенства между его элементами.

(I, III) Связь сложения и порядка в R

Если х, — элементы R, то

(II, III) Связь умножения и порядка в R

Если — элементы R, то

(IV) Аксиома полноты (непрерывности)

Если X и Y — непустые подмножества Е, обладающие тем свойством, что для любых элементов выполнено то существует такое , что для любых элементов .

Этим завершается список аксиом, выполнение которых на каком бы то ни было множестве Е позволяет считать это множество конкретной реализацией или, как говорят, моделью действительных чисел.

Это определение формально не предполагает никакой предварительной информации о числах, и из него, «включив математическую мысль», опять-таки формально мы должны получить уже в качестве теорем остальные свойства действительных чисел. По поводу этого аксиоматического формализма хотелось бы сделать несколько неформальных замечаний.

Представьте себе, что вы не прошли стадию от складывания яблок, кубиков или других именованных величин к сложению абстрактных натуральных чисел; что вы не занимались измерением отрезков и не пришли к рациональным числам; что вам неизвестно великое открытие древних о том, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и потому ее длина не может быть рациональным числом, т. е. нужны иррациональные числа; что у вас нет возникающего в процессе измерений понятия «больше» что вы не иллюстрируете себе порядок, например, образом числовой прямой. Если бы всего этого предварительно не было, то перечисленный набор аксиом не только не воспринимался бы как определенный итог духовного развития, но, скорее, показался бы по меньшей мере странным и во всяком случае произвольным плодом фантазии.

Относительно любой абстрактной системы аксиом сразу же возникают по крайней мере два вопроса.

Во-первых, совместимы ли эти аксиомы, т. е. существует лимножество, удовлетворяющее всем перечисленным условиям. Это вопрос о непротиворечивости аксиоматики.

Во-вторых, однозначно ли данная система аксиом определяет математический объект, т. е., как сказали бы логики, категорична ли система аксиом.

Однозначность здесь надо понимать следующим образом. Если лица А и В, независимо, построили свои модели, к примеру, числовых систем удовлетворяющие аксиоматике, то между множествами можно установить биективное соответствие, пусть сохраняющее арифметические операции и отношение порядка, т. е.

С математической точки зрения в таком случае являются всего-навсего различными (совершенно равноправными) реализациями (моделями) действительных чисел (например, — бесконечные десятичные дроби, а — точки на числовой прямой). Такие реализации называются изоморфными, а отображение — изоморфизмом. Результаты математической деятельности относятся, таким образом, не к индивидуальной реализации, а к каждой модели из класса изоморфных моделей данной аксиоматики.

Мы не будем здесь обсуждать поставленные выше вопросы и ограничимся только информативными ответами на них.

Положительный ответ на вопрос о непротиворечивости аксиоматики всегда носит условный характер. В отношении чисел он выглядит так: исходя из принятой нами аксиоматики теории множеств (см. гл. I, § 4, п. 2), можно построить множество натуральных, затем множество рациональных и, наконец, множество Е всех действительных чисел, удовлетворяющее всем перечисленным свойствам.

Вопрос о категоричности системы аксиом действительных чисел имеет положительный ответ. Желающие получат его самостоятельно, решив задачи 23, 24, помещенные в конце следующего параграфа.