3. Компакты в R^m
Определение 8. Множество 
называется компактом, если из любого покрытия К множествами, открытыми в 
можно выделить конечное покрытие.
Пример 12. Отрезок 
является компактом в 
в силу леммы о конечном покрытии.
Пример 13. Обобщением отрезка в 
является множество
которое называется 
-мерным промежутком, 
-мерным брусом или 
-мерным параллелепипедом.
Покажем, что I — компакт в 
Предположим, что из некоторого открытого покрытия I нельзя выделить конечное покрытие. Разделив каждый из координатных отрезков 
пополам, мы разобьем промежуток I на 
промежутков, из которых по крайней мере один не допускает конечного покрытия множествами нашей системы. С ним поступим так же, как и с исходным промежутком. Продолжая этот процесс деления, получим последовательность вложенных промежутков 
ни один из которых не допускает конечного покрытия. Если 
то при каждом 
координатные отрезки 
образуют, по построению, систему вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю. Найдя при каждом 
точку 
общую для всех этих отрезков, получим точку 
принадлежащую всем промежуткам 
Поскольку 
то найдется такое открытое множество 
нашей системы покрывающих множеств, что 
Тогда при некотором 
также 
Но по построению в силу соотношения (2) найдется номер 
такой, что 
при 
и мы вступаем в противоречие с тем, что промежутки 
не допускают конечного покрытия множествами данной системы.
Утверждение 3. Если К — компакт 
то 
— замкнутое множество в 
любое замкнутое в 
множество, содержащееся в К, само является компактом.
а) Покажем, что любая точка а 
предельная для К, принадлежит К. Пусть а 
Для каждой точки 
построим такую окрестность 
что точка а обладает окрестностью, не имеющей с 
общих точек. Совокупность 
, всех таких окрестностей образует открытое покрытие компакта К, из которого выделяется конечное покрытие 
Если теперь 
— такая окрестность точки а, что
то множество 
также является окрестностью точки а, причем, очевидно; 
Таким образом, а не может быть предельной точкой для К.
Пусть 
— замкнутое в 
множество и 
. Пусть 
, — покрытие 
множествами, открытыми в 
Присоединив к нему еще одно открытое множество 
получим открытое покрытие 
и, в частности, К, из которого извлекаем конечное покрытие К. Это конечное покрытие К будет покрывать также множество 
Замечая, что 
можно сказать, что если 
входит в это конечное покрытие, то, даже удалив 
мы получим конечное покрытие 
множествами исходной системы 
.
Определение 9. Диаметром множества 
называется величина
Определение 10. Множество 
называется ограниченным, если его диаметр конечен.
Утверждение 4. Если К — компакт в 
то К — ограниченное подмножество 
.
Возьмем произвольную точку а 
и рассмотрим последовательность шаров 
Они образуют открытое покрытие 
следовательно, и К. Если бы К не было ограниченным множеством, то из этого покрытия нельзя было бы извлечь конечное покрытие К.
Утверждение 5. Множество 
является компактом в том и только в том случае, если К замкнуто и ограничено в 
.
Необходимость этих условий нами уже показана в утверждениях 3 и 4.
Проверим достаточность этих условий. Поскольку К — ограниченное множество, то найдется 
-мерный промежуток 
содержащий, К. Как было показано в примере 13, I является компактом в 
Но если К — замкнутое множество, содержащееся в компакте 
то по утверждению 
оно само является компактом.
Задачи и упражнения
(см. скан)
