3. Условия выпуклости функции

Определение 1. Функция определенная на интервале называется выпуклой на нем, если для любых точек и любых чисел таких, что имеет место неравенство

Если при это неравенство является строгим, то функция называется строго выпуклой на интервале

Геометрически условие (11) выпуклости функции означает (рис. 23), что точки любой дуги графика функции лежат под хордой, стягивающей эту дугу.

Рис. 23

В самом деле, в левой части (11) стоит значение функции в точке справа — значение в той же точке линейной функции, график которой (прямая) проходит через точки

Соотношение (11) означает, что множество точек плоскости, лежащих над графиком функции, является выпуклым, откуда и сам термин «выпуклая» функция.

Определение 2. Если для функции в (11) имеет место обратное неравенство, то говорят, что функция вогнута на интервале или, чаще, что она выпукла вверх на этом интервале, в отличие от выпуклой функции, которую тогда называют выпуклой вниз на интервале

Поскольку все дальнейшие построения проводятся одинаково для функций, выпуклых вниз или вверх, мы ограничимся рассмотрением выпуклых (вниз) функций.

Сначала придадим неравенству (11) другой вид, более приспособленный для наших целей.

Из соотношений имеем

поэтому (11) можно переписать в виде

Учитывая, что после домножения на получаем

Замечая, что из последнего неравенства после элементарных преобразований находим, что

при и любых

Неравенство (12) является иной формой записи определения выпуклости функции на интервале Геометрически (12) означает (см. рис. 23), что угловой коэффициент хорды I, соединяющей точки не больше (а в случае строгой выпуклости — меньше) углового коэффициента хорды II, соединяющей точки

Предположим теперь, что функция дифференцируема на Тогда, устремляя в поочередно к получаем

что устанавливает монотонность производной функции

Учитывая это, для строго выпуклой функции, пользуясь теоремой Лагранжа, находим

при т. е. строгая выпуклость влечет строгую монотонность производной.

Итак, если дифференцируемая функция выпукла на интервале то не убывает на в случае строгой выпуклости ее производная возрастает на

Оказывается, это не только необходимые, но и достаточные условия выпуклости дифференцируемой функции.

В самом деле, для а по теореме Лагранжа

где и если то выполнено условие (12) выпуклости (или строгой выпуклости, если

Таким образом, мы доказали следующее

Утверждение 5. Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция была выпуклой (вниз) на необходимо и достаточно, чтобы ее производная не убывала на При этом строгому возрастанию соответствует строгая выпуклость

Сопоставляя утверждение 5 и утверждение 3, получаем

Следствие. Для того чтобы функция - имеющая на интервале вторую производную, была выпуклой (вниз) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы на было же на то этого достаточно, чтобы гарантировать строгую выпуклость функции

Теперь мы в состоянии объяснить, например, почему графики простейших элементарных функций рисуют с тем или иным характером выпуклости.

Пример 9. Исследуем выпуклость функции на множестве Поскольку то при или при т. е. при таких значениях показателя степени а степенная функция строго выпукла (вниз). При имеем поэтому для таких показателей степени она строго выпукла вверх. Например, параболу мы всегда рисуем выпуклой вниз. Оставшиеся случаи тривиальны: . И в том и в другом случае графиком функции является луч (см. рис. 30 на с. 247).

Пример 10. Пусть Поскольку показательная функция при любом допустимом основании а строго выпукла (вниз) на (см. рис. 24 на с. 247).

Пример 11. Для функции имеем поэтому функция строго выпукла (вниз), если и строго выпукла вверх, если (см. рис. 25 на с. 247).

Пример 12. Исследуем выпуклость функции (см. рис. 26 на с. 247).

Поскольку то на интервалах на интервалах где к Отсюда, например, следует, что дуга графика функции на отрезке лежит над стягивающей ее хордой всюду, кроме концевых точек; поэтому при

Укажем теперь еще одну характеристику выпуклой функции, геометрически эквивалентную тому, что выпуклая область на плоскости лежит по одну сторону от касательной к ее границе.

Утверждение 6. Дифференцируемая на интервале функция выпукла (вниз) на тогда и только тогда, когда ее график всеми своими точками лежит не ниже любой проведенной к нему касательной. При этом для строгой выпуклости функции необходимо и достаточно,

чтобы все точки графика, за исключением самой точки касания, лежали строго выше этой касательной.

Необходимость. Пусть Уравнение касательной к графику в точке имеет вид

поэтому

где — точка между Так как выпукла, то функция не убывает на и знак разности совпадает со знаком разности поэтому в любой точке Если строго выпукла, то строго возрастает на и, значит, при

Достаточность. Если для любых точек

то

Таким образом, для любой тройки точек такой, что , получаем

причем строгое неравенство в (13) влечет строгое неравенство в последнем соотношении, которое, как мы видим, совпадает с записью (12) определения выпуклой функции.

Рассмотрим примеры.

Пример 13. Функция строго выпукла. Прямая является касательной к графику этой функции в точке (0,1), так как . В силу утверждения заключаем, что для любого

причем если , то неравенство строгое.

Пример 14. Аналогично, пользуясь строгой выпуклостью вверх функции можно проверить, что при справедливо неравенство

причем это неравенство является строгим, если

При построении графиков функций бывает полезно выделять точки перегиба графика.

Определение 3. Пусть — функция, определенная и дифференцируемая в окрестности точки Если на множестве функция выпукла вниз (вверх), а на множестве выпукла вверх (вниз), то точка графика называется его точкой перегиба.

Таким образом, при переходе через точку перегиба меняется направление выпуклости графика, а это, в частности, означает, что в точке график функции переходит с одной стороны касательной к нему в этой точке на другую ее сторону.

Аналитический признак абсциссы точки перегиба легко усмотреть, сопоставляя утверждение 5 и утверждение 3. А именно, можно сказать, что если дважды дифференцируема в точке то, поскольку в точке имеет максимум или минимум, необходимо

Если же вторая производная определена в и всюду в имеет один знак, а всюду в — противоположный знак, то этого достаточно для того, чтобы была монотонна, но имела разный характер монотонности. Тогда в силу утверждения 5 в точке произойдет изменение направления выпуклости графика, т. е. будет точкой перегиба.

Пример 15. В примере 12, рассматривая функцию мы нашли участки выпуклости и вогнутости ее графика. Покажем теперь, что точки графика с абсциссами являются точками перегиба.

Действительно, при Кроме того, при переходе через эти точки меняет знак, что является достаточным признаком точки перегиба (см. рис. 26 на с. 247).

Пример 16. Не следует думать, что переход кривой с одной стороны касательной на другую ее сторону в некоторой точке является достаточным признаком того, что эта точка является точкой перегиба. Ведь может так случиться, что ни в левой, ни в правой ее окрестности кривая не сохраняет определенный характер выпуклости. Пример легко построить, усовершенствовав пример 5, приведенный по схожему поводу.

Пусть

Тогда при при поэтому график этой функции касается оси абсцисс в точке и переходит в этой точке из нижней полуплоскости в верхнюю. В то же время производная

функции

не монотонна ни в какой полуокрестности точки

В заключение вновь вернемся к определению (11) выпуклой функции и докажем следующее

Утверждение 7 (неравенство Иенсена). Если — выпуклая функция, — точки интервала — неотрцг цательные числа такие, что то справедливо неравенстёо

При условие (14) совпадает с определением (11) выпуклой функции. Покажем, что если (14) справедливо для то оно справедливо и для т.

Пусть, для определенности, в наборе имеем Тогда

Используя выпуклость функции, находим

поскольку

Далее, по предположению индукции

В силу принципа индукции заключаем, что (14) верно для любого тривиально.)

Заметим, что, как видно из доказательства, строгой выпуклости отвечает строгое неравенство Иенсена, т. е. если среди чисел по крайней мере два отличны от нуля, то знак равенства в (14) может иметь место тогда и только тогда, когда

Для функции, выпуклой вверх, разумеется, получается обратное по отношению к неравенству (14) неравенство

Пример 17. Функция строго выпукла вверх на множестве положительных чисел, поэтому в силу (15)

или

при

В частности, если получаем классическое неравенство

между средним геометрическим и средним арифметическим неотрицательных чисел. Знак равенства в (17) возможен, как отмечалось выше, только при Если же в (16) положить то вновь получим уже известное нам неравенство (5).

Пример 18. Пусть Поскольку такая функция выпукла, имеем

Полагая здесь вновь получаем неравенство (7) Гёльдера

где

При функция выпукла вверх, поэтому аналогичными рассуждениями можно получить и другое неравенство (8) Гёльдера.